第16章《分式》知识要点复习.doc

第16章《分式》知识要点复习 一、本章主要内容 本章主要内容是分式的概念；分式的基本性质；分式混合运算和可化为一元一次方程的分式方程及其应用，这些内容在今后进一步学习方程、函数等知识时占有重要地位和作用． ★（一）概念 1、分式的概念：（注明：A、B都是整式，并且B中都含有字母） 说明：分式比分数更具有一般性，如分式 可以表示为两个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数。 2、分式的表示：（注明： B≠0才有意义） 3、分式的值：⑴时，A=0且B≠0；⑵时，A=B且B≠0。 4、最简分式： ★（二）分式的基本性质（类似分数的性质，运用类比数学思想） 1．分式的基本性质是分式恒等变形的依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，因此学习中要注意以下几点： （1）基本性质中的字母表示整数，（，M≠0） （2）要特别强调M≠0，且是一个整式，由于字母的取值可以是任意的，所以M就有等于零的可能性，因此，应用基本性质时，重点要考查M的值是否为零． 2. 运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母. （三）分式运算（最后的结果要是最简分式，转化数学思想） 1、分式的乘除法 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则分式乘方要把分子、分母分别乘方。①因式分解，②约分。 2、分式的加减法 分式法则①通分， ②分解因式， ⑶约分。 3. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即； ★当n为正整数时， （ 4.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：； （2）幂的乘方：; （3）积的乘方：； （4）同底数的幂的除法：( a≠0)； （5）商的乘方：；(b≠0) 5.混合运算:运算顺序和以前一样。（能用运算率简算的可用运算率简算。） ★（四）解分式方程 1．解分式方程的本质就是将分式方程化成整式方程． 2.解分式方程基本思路是方程两边都乘以各分母的最简公分母，使方程化为整式方程。 3. 解分式方程的步骤 ： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．（　增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 ） ★4.分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答． 6.应用题常见几种类型： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水，则a,b,c,d成比例。根据分式的基本性质及运算法则可以的到比例的性质。 （1）若（a,b,c,d都不为0），则有，成立。 （2）若（a,b,c,d都不为0），则有成立。 （3）若（a,b,c,d都不为0），则有（）成立。 （五）、范例学习，提高认知 例1：当x取什么数时，下列分式有意义？ （1）． 思路点拨：（1）令5x+1=0，相应求出x的值，然后x不取这个值时分式必有意义．（2）由于无论x取何值x2+2的值均大于零，因此，x取任何实数，此分式都有意义；（3）因为任何数的平方均为非负数，则m2≥0，所以m≠0即可． 例2：当x取什么数，下列分式的值为零？ （1）． 思路点拨：令分子等于零，由此求出x的值，此时应考虑分母是否等于零，若等于零，则分式无意义，应舍去． 例3：计算： 思路点拨：按法则进行分式乘除法运算，应注意，如果运算结果不是最简分式，一定要约分，对于分式的乘除混合运算，按乘除的顺序依次进行；当分子、分母是多项式时，一般先分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化． 例4：计算： 思路点拨：（1）分式的加减运算就是把异分母的加减化成同分母的分式的加减，因此，在通分过程中找出最简公分母是关键．（2）对于分式的混合运算，应注意运算顺序． 例5：解分式方程：1- 思路点拨：解分式方程基本思路是方程两边都乘以各分母的最简公分母，使方程化为整式方程，但解后必须验根． 例6： 某水泵厂在一定天数内生产4 000台水泵，工人为了支援祖国现代化建设，每天比原计划增加25%，可提前10天完成任