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Ch2-4导数计算
2.4 导数计算
( ′ ) (f )x +Δx −f x
导数定义 (f ) x lim
Δ →x 0 Δx
已知的求导公式：
( ) 0C ′ x ( )x μ ′ μ μ−1
(sin ) cos x ′ x ′
(cos ) sin x − x
x x ′ x x ′
a( ) a lna e ( )e
1 1
(log ) a x ′ (ln ) x ′
x ln a x
一、可导与连续
1. 可导与连续的关系
y f x若函数a ( ) 在点 处可导，f x 则(a ) 在点 必连续。
定理1
′ ( ) (f )x −f a
已知f a ，
证明 ( ) lim
x a → x −a
( ) ( )
f x −f a
lim ( ) f则x( ) f [a − ] lim ( ⋅ x −)a
x →a x a → x −a
( ) ( )
f x −f a
lim lim⋅ ( −)x a 0
x a → x −a x a →
f x 说明(a ) 在点 必连续。
注：反之不成立，即函数在一点连续不一定可导。
例1
f x x x
( ) | |讨论 0 在 处的可导性与连续性。
(f )x | |x ∴ x 0 在 连续；
lim | Q| 0 x (f0)
解
x →0
| | 0 | | x
x −
但是，lim lim 不存在
x →0 x −0 x →0 x
(f )x | |x ∴ x 0 在 不可导．
可导、连续、极限存在之间的关系
可导 连续 极限存在
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