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2002级东南高数(上)期终试卷
东南大学2002级高等数学(上)期终试卷
（非电类用） 考试时间：2003年1月
题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得 分 一、填空题（每小题3分，共18分）
。
2.曲线 处的切线通过原点。
3.若， 。
4.若，则 。
5. 。
6.微分方程满足条件 。
二、单项选择题（每小题4分，共16分）
1.若，则（ ）
（A）； （B）； （C）； （D）。
2.已知，则 （ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）。
3.设，，，，若当，
，（ ） （A） （B）3； （C）2； （D）1。
4.圆所围成的平面图形的面积
可表示为（ ）
（A）；（B）；
（C）；（D）。
三、计算题（本题共6小题，满分37分）
1.（6分）求极限.
解:.
2.（6分）计算积分.
解:
.
3.（6分）设， 求，.
解:，.
4.（7分）设，且满足关系式
，又，.
解:，，
两边对x求导，得
，得初值问题
特征方程为，，
方程(1)对应的齐次方程的通解为，
方程(1)的一个特解为，
∴方程(1)的通解为，
把初始条件代入，得
故。
5.（6分）计算积分.
解:
。
6.（6分）计算积分.
解：。
四、（6分）求微分方程满足初始条件，的特解.
解：，，则有，，
，，
代入初始条件，，得。
∴，，，代入初始条件，得，
故所求特解为。
五、（8分）设，且，令，
（1）；（2）讨论.
解：由，又，故，
且。
，
，
，
，，
∴
∵
，
∴.
六、（9分）,
（1）绕x轴旋转一周所得旋转体
的体积.
（2）证明：在，.
（1）解：，
.
（2）证明：设，
即
则。
∵，，
∴由零点定理知，，使得，
∵，
∴，
∴在，.
七、（6分），，
. 试证 .
证明：∵，
∴，从而当时，。
∵
，
∴，
∵，，
∴，即。
5
学 号 姓 名
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