大工12秋《高等数学》(上)辅导资料十二.doc

高等数学（上）辅导资料十二 主 题：第三章 微分学的应用 第四节 泰勒中值定理 学习时间：2012年12月17日—12月23日 内 容： 这周我们将学习第三章微分学的应用（第4节）。本周将继续研究中值定理，解决某些有关的实际问题。无论是理论分析，还是近似计算，我们都希望在局部范围内用一个较简单的函数来近似表示一个较复杂的函数，这是数学中的一个基本思想和常用手段。多项式函数就是非常理想的函数，因为不仅它的函数值易计算，而且在上存在任意阶导数。因此，用多项式函数去近似地表达一个函数是很重要的问题，泰勒公式就是研究这个问题的理论基础。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：理解泰勒定理基本概念泰勒定理知识点：在含有的某个区间内具有直到(n+1)阶的导数，则对任意，下式成立： 其中，这里是与之间的某个值。 如果对于某个固定的n(当在区间内变动时(总不超过一个常数M(则有估计式： 及 可见(当(时(误差是比高阶的无穷小(即 在不需要余项的精确表达式时(n阶泰勒公式也可写成 当时的泰勒公式称为麦克劳林公式(就是 或（要求理解记忆） 其中 由此得近似公式：? 误差估计式变为： 范例解析： 计算题：1、写出函数的n阶麦克劳林公式 解：因为 所以 注意到，代入公式，得 (01) 由公式可知， 这时所产生的误差为（设，） 当时(可得的近似式： 其误差为 计算题：2、写出函数的n阶麦克劳林公式 解：由于 所以，等等。它们顺次循环地取四个数0,1,0,-1，于是由麦克劳林公式得到 其中 常用函数的麦克劳林公式有： 1、 2、 3、 4、 5、 大连理工大学网络教育学院 第1页 共3页