4_随机过程.ppt

随机过程的概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。 给定一随机试验E，其样本空间S={e}，将样本空间中的每一元作如下对应，便得到一系列结果： 例：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义： 例5：考虑抛掷一颗骰子的试验： 随机过程的统计描述小结 例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程： 例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程： 设 X[n] 是一独立随机序列，当 n 是奇数时，它是取值1，-1概率都是1/2的随机变量；当 n 是偶数时，它是取值1/3，-3概率9/10，1/10的随机变量。由于一维分布在不断变化，所以 X[n] 显然不是严平稳的。但其均值函数和自相关函数为 所以， X[n]是宽平稳的。 [例] 4 由于宽平稳过程的定义只涉及与一维, 二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要二阶矩存在， 则它必定也是宽平稳的。 但反过来，一般是不成立的。不过有一个重要的例外情形， 即正态过程。 因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的， 因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化， 则概率密度也不随时间的推移而变化。 由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的。 定理2.7 对于正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；严平稳过程也一定是宽平稳过程。 正态过程 X(t) 的 n 维特征函数为 我们要证明，所有时刻平移h，新的n维正态向量 的特征函数也是 因此， 由过程的宽平稳性得 即特征函数不因时间推移而改变。 由于特征函数与分布函数都是分布的完全描述，所以它等价于 这表明的一切有限维分布也不随时间推移而改变，即 X(t) 是一个严平稳过程。 所以对任一h ，有 即相关函数只与 k-l 有关。 所以它是宽平稳的随机序列。 如果 X1,X2,...,Xk,... 又是独立同分布的， 则易证序列也是严平稳的。 -例 设{Xk, k=1,2,...}是互不相关的随机变量序列, 且E[Xk]=0, E[Xk2]=σ2, 则有 于是, X(t)的均值函数为 -例： 设s(t)是一周期为T的函数, Θ是在(0,T)上服从均匀分布的随机变量, 称X(t)=s(t+Θ)为随机相位周期过程. 试讨论它的平稳性.解： 由假设, Θ的概率密度为 而自相关函数 利用s(j)的周期性, 可知 所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位正弦波是平稳的. 同样, 利用s(j)s(j+t)的周期性, 可知自相关函数仅与t有关, 即 O t -I I X(t) -例 考虑随机电报信号. 信号X(t)由只取+I或-I的电流给出. 这里 P{X(t)=+I}=P{X(t)=-I}=1/2;而正负号在区间(t, t+τ)内变化的次数N(t, t+τ)是随机的, 且假设N(t, t +τ)服从泊松分布, 其中l0是单位时间变号次数的数学期望. 试讨论X(t)的平稳性. 解： 显然, E[X(t)]=0. 现在计算E[X(t)X(t+t)], 先设t0, 如果电流在(t,t+t)内变号偶数次, 则X(t)和X(t+t)必为同号且乘积为I2; 如果变号奇数次, 则乘积为-I2. 亦即事件 Ak={N(t,t+t)=k}的概率为 此结果与 t 无关。 因为事件 {X(t)X(t+t)=I2}的概率为P(A0)+P(A2)+P(A4)+..., 而事件 {X(t)X(t+t)=-I2}的概率为P(A1)+P(A3)+..., 于是 t O I2 RX(t) 而若t0时, 只需令t=t+t, 则有E[X(t)X(t+t)]=E[X(t)X(t-t)]=I2e2lt.故这一过程的相关函数为RX(t)=E[X(t)X(t+t)]=I2e-2l|t|,它只与t有关, 因此随机电报信号是一平稳过程. 自相关函数的性质 RX(0)表示平稳过程X(t)的t 时刻“瞬时（平均）功率”。 定义能量（密度）谱---单位频带的能量 …… Parseval方程 复习：能量谱 定义 为f(t)的功率密度函数(功率谱) 复习：功率谱 功率谱密度 将式中的被积式称为平稳过程X(t)的功率谱密度, 并记为SXX(w)或SX(w), 即 此式称为平稳过程X(t)的平均功率表示式.功率谱密度SX(w)通常也简称为自谱密度或谱密度, 它是从频率这个角度描述X(t)的统计规律的最主要的数字特征, 它的物理意义表示X(t)的平均功率关于频率的分布. 如已知X(t)的谱密度, 则在频率范围(w1,w2)内的谱密度对平均功率的贡献为 称为维纳-辛钦公式.