04 第四节 极限的运算.doc

第四节 极限的运算 本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“”下面没有表明自变量的变化过程，是指对和以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了的情形. 分布图示 ★ 极限的运算法则 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 定理2 ★ 例5 ★ 例6 ★ 极限存在准则 ★ 例7 ★ ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 4 内容要点 一、极限的运算法则 1、 极限的四则运算：定理1 推论1 推论2 2、 复合函数的极限运算法则：定理2 二、极限存在准则 夹逼准则 单调有界准则 三、两个重要极限： 1. ； 2．. 例题选讲 极限的四则运算 例1(E01) 求 . 解 注：设则有 例2 (E02) 求 . 解 注：设且则有 当时，则商的法则不能应用. 例3 (E03) 求 . 解 时，分子和分母的极限都是零先约去不为零的无穷小因子后再求极限. （消去零因子法） 例4 (E04) 计算. 解 当时, 不能直接使用商的极限运算法则. 但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子. 例5 (E05) 计算 . 解 令，则函数可视为由，构成的复合函数. 因为 所以 无穷小因子分出法：以分母中自变量的最高次幂除分子和分母，以分出无穷小，然后再求极限的方法. 例6 (E06) 计算 解 令 则 所以 例7 (E07) 求 . 解 因为 故由准则I, 得 即 例8 (E08) 求 . 解 例9 (E09) 求 . 解 例10 (E10) 求 解 原式 例11 下列运算过程是否正确： . 解 这种运算是错误的.当时,本题所以不能应用上述方法进行计算.正确的作法如下： 令则当时, 于是 例12 (E11) 求. 解 例13 (E12) 求 . 解 例14 (E13) 求 解 例15 (E14) 计算 . 解 令 则 于是 注: 本例的结果 今后常作为公式使用. 例16 (E15) 求 解 例17 (E16) 求 解 课堂练习 1. 求极限. 2. 求极限 3. 求极限