第四章课后题.doc

3.解 （1） 由于，故所给矩阵不是正交矩阵。 （2） 由于，故所给矩阵不是正交矩阵。 （3） 故所给矩阵为正交矩阵。 4.（1）解： 故 对于，解方程 得基础解系 所以对应于的全部特征向量为。 对于时，解方程 得基础解系 所以对应于的全部特征向量为（不同时为0）. （2）解： 故 当时，解方程 得基础解系 所以对应于的全部特征向量为. （3）解： 故 当时，解方程 得基础解系 所以对应于的全部特征向量为 当时，解方程 得基础解系 所以对应于的全部特征向量为 当时，解方程 得基础解系 所以对应于的全部特征向量为。 （4）解： 故 当时，解方程组 得基础解系， 所以对应于的全部特征向量为。 当时，解方程组 得基础解系 所以对应于的全部特征向量为 5.矩阵满足，求的特征值 5.解：设是的特征值，对应的特征向量设为，则 由已知得 由于，故＝0，解得或。 6.已知3阶矩阵的特征值为1，2，－2，求的特征值。 6.解：令，则，又因为的特征值为1，2，－2，故的特征值为 ；； 所以的特征值为4，7，－5. 7.设3阶矩阵的特征值为1，2，3，求。 7.解：由于的特征值为1，2，3，故 令，则，故的特征值为 ；； 所以。 8.设为正交矩阵，若，求证一定有特征值-1. 8.证明：设矩阵的特征多项式为 ，则 ， 又因为为正交阵，所以，于是 由两个方程，即 故-1为的一个特征根. 9.设都是阶矩阵，证明与具有相同的特征值。 9.证明：设是的任一特征值，是与对应的特征向量，即 ，　　　　　　　 　(1) 用左乘上式两端，有 ，　　　　　　　　　(2) 若记，则(2)式可写成 ， 由(1)式知（否则就有）.因此是矩阵特征值. 设是的特征值，是与对应的特征向量，即 ， 亦即是齐次方程组 ， 的非零解，于是齐次方程组的系数行列式 . 因而齐次方程组有非零解，所以满足 . 故是矩阵的特征值. 综上所述，矩阵的特征值都是矩阵的特征值，同理可证的特征值都是的特征值，故结论成立. 10.设3阶矩阵与相似，其中的特征值为2，，，求。 10.解：由于与相似，故与具有相同的特征值，所以的特征值为2，，。 令，则，故的特征值为 ；； 所以。 11.判断下列矩阵是否可对角化，说明理由。 （1）； （2）； （3） 11.解：（1）先求的特征值 所以的特征值为 ，故不能对角化。 （2） 所以的特征值为 对于 ，故能对角化。 （3） 所以的特征值为 ，故能对角化。 12.设矩阵，其中，试求。 12.解：由于，故，即 所以。 13.是矩阵的特征向量，试求。 13.解：设是矩阵的特征值，为矩阵的属于特征值的特征向量.有 ，即 即 解得。 14.已知，求。 14.解：先求的特征值 所以矩阵的特征值为 对于， 由于，故可对角化。解上述方程组得基础解系为 对于 得基础解系 取 则有，从而，，即 15.已知3阶矩阵的特征值为1，－1，0，对应的特征向量分别为 求矩阵。 15.解：因为有3个不同的特征值，所以可相似对角化，有 于是 16．试求正交矩阵，使得为对角矩阵。 （1）； （2） 16.解：（1　 故得特征值为． 当时，由 解得 单位特征向量可取: 当时,由 解得 单位特征向量可取: 当时,由 　　解得． 单位特征向量可取: 得正交阵 （2）先求的特征值 得到的特征值为 对于， 得基础解系 对于， 得基础解系 注意到与已经正交，故只需将各向量单位化即可 令 以单位正交向量为列得正交矩阵 使得 17. (06)设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解. (1)求的特征值和特征向量； (2)求正交矩阵和对角矩阵,使； 17.解：（1） 由题设的行和均为3，有 ， 所以，是的属于特征