数模练习--餐厅就餐作业.doc

P179题2. 要求建模过程完整 考虑美国大学生就餐于各类型的餐厅人数的长期趋势，以了解美国大学生的就餐习惯。增加披萨饼外卖作为就餐的一种选择，根据一项学生调查，表6—3给出了转移的百分比，确定学生在每个地方就餐的百分比。 表6—3美国大学生就餐调查 下一状态 当前状态 Grease餐厅 Sweet餐厅 披萨饼外卖 Grease餐厅 Sweet餐厅 披萨饼外卖 0.25 0.50 0.10 0.30 0.60 0.05 0.15 0.80 问题分析： 增加披萨饼外卖作为就餐的一种选择，在三种不同类型的餐厅就餐条件下，预测该选择是否具有长期选择性。 关键字： 离散概率模型，动力系统模型，马尔可夫链，预测模型 假设：学会就餐不按严格规定方向选择，利用以上表格数据建立一个假想的转移。 由上数据可得三个餐厅的就餐问题的三种状态的马尔可夫链 模型建立 定义如下变量： P(1):Grease餐厅就餐的初始人数所占百分比. P(n):第n状态美国大学生在Grease餐厅就餐的人数所占百分比。 q(1):Sweet餐厅就餐的初始人数所占百分比. q(n): 第n状态美国大学生在Sweet餐厅就餐的人数所占百分比 a(1):比萨饼外卖就餐的初始人数所占百分比. a(n): 第n状态美国大学生在Sweet餐厅就餐的人数所占百分比。 模型预测： 这个动力系统模型，清晰的描述了随着时间的推移，到各个餐厅就餐人数的百分比（概率）。只要给定时间n，就可计算出p(n+1),q(n+1),a(n+1).那么，经过若干个时间后，系统就会出现平稳状态，系统的各个子系统的长期行为就会固定下来，下面是具体的求解及计算结果。 构造概率模型： p(1)=1; q(1)=0; a(1)=0; p(n+1)=0.25.*p(n)+0.1.*q(n)+0.05.*a(n); q(n+1)=0.25.*p(n)+0.3.*q(n)+0.15.*a(n) a(n+1)=0.5.*p(n)+0.6.*q(n)+0.8.*a(n); 模型求解 : p(1)=1; q(1)=0; a(1)=0; for n=1:15 p(n+1)=0.25.*p(n)+0.1.*q(n)+0.05.*a(n); q(n+1)=0.25.*p(n)+0.3.*q(n)+0.15.*a(n); a(n+1)=0.5.*p(n)+0.6.*q(n)+0.8.*a(n); end format short g p, q, a n=1:16; plot(n,p,c-) hold on plot(n,q,m--) hold on plot(n,a,r*) legend(Grease餐厅-,Sweet餐厅--,披萨饼外卖*) xlabel(某状态) ylabel(餐厅类型所占比例) 模型解释: 由图可清楚的看出，如果总的学生就餐人数为n人，那么在下一状态为4时，比萨饼外卖人数大约占75%，Sweet餐厅大约占20%，Grease餐厅大约占10%。 模型评价： 该模型符合模型预测，比较符合现实情况，属于比较实用性，保真性也比较强，所以该模型建立比较合理。参考文献： 1.数学建模原书（第3版）P179题2. 2.课上课件。 0.5 Sweet餐厅 Grease餐厅 比萨饼外卖 0.25 0.1 0.15 0.6 0.30 0.05 0.80 0.25