导数的应用组合课件.ppt

* 例1:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 A (2)下列函数在点x=0处没有切线的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosx D (3)若 则f(x)可能是下式中的( ) B (4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( ) D 例2:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程. 解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.② 因为两切线重合, 若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4. 例3:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称. 解:由于 ,故当x=2时, 有最小值. 而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12). 记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6. 又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S. 将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y. 即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S. 这就证明了曲线S关于点A中心对称. 练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4). ,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8. 故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0). 例4:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度. 解:由已知知:圆半径R=R(t),且 = 2cm/s. 又圆面积S=πR2,所以 =40π(cm)2/s. 故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s. 例5:在曲线 上求一点,使通过该点的切线平行于 x轴,并求此切线的方程. 解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知: 切线斜率 把x0=0代入曲线方程得:y0=1. 所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0. 例6:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程. 解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0). 故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1. 由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0). 所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0. 答案:①x+ey-2e=0,②(1+e)x-ey-e2=0. 练习2:分别求曲线①y=logxe;② 在点(e,1)处 的切线方程. 延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的 最小距离. 答案: 例7:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交 点处的切线互相垂直. 证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可. 联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨 证明过P点的两条切