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第3讲 迭代技术
第3讲 迭代技术 一、迭代 1、迭代的概念 将方程 f(x)=0改写成某种等价形式,如 x=g(x) 选取方程的某个初始近似根x0,由上面的等价形式构成迭代公式 xn+1=g(xn), 计算出一个系列,x1,x2,……,如果它是收敛的,则在达到预定精度要求后就认为满足精度要求的项是所求的根. 2、收敛性问题 例如:求方程x3-x-1=0在x=1.5附近的根(用6位有效数字计算) 若构造迭代公式x= 迭代计算结果如下 k xk 0 1.5 1 1.35721 2 1.33086 3 1.32588 4 1.32494 5 1.32476 6 1.32473 7 1.32472 8 1.32472 如果按另一种形式构成迭代公式，即 x=x3-1 仍取x0=1.5计算，迭代计算结果如下 k xk 0 1.5 1 2.375 2 12.3976 3 1904.002808 4 6.902442e+09 5 3.288579e+29 二、牛顿迭代 若f(x)=0在(a,b)内有一个零点α，在α的邻域内，|x-α|ε,f ˊ(x)不等于0，且f″(x)存在，则从靠近α的任一点x0出发，构造计算序列 xn+1=xn- 则一定收敛α。 三、其它迭代公式 1、弦截法 xk+1=xk-f(xk)* 特点：若收敛，则收敛速度也较快，不须计算导数，但需要设置２个初值。 ２、加速迭代公式与Aitken迭代方法 [例3-1]试对方程x2=a写出对应的牛顿迭代公式。 基本分析： 一般步骤：1、确定解的基本区间（a，b）； 2、保证在解的基本区间（a，b）只有唯一一根； 3、构造牛顿迭代公式，并选取初始值； 4、根据上一步编程。编程中把对f(x)、f’(x)的计算用自定 义函数实现 [例3-2]试编写自定义函数mysqrt，形式为 float mysqrt(float x);它返回x的平方根。 基本分析与程序编写： [例3-3]利用牛顿迭代公式，求解x
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