空间向量知识精讲.doc

§2(2 空間坐標與空間向量 (甲)空間坐標的引入 (1)建立空間坐標系： 在空間中的一個平面E上，建立一個直角坐標系，以O為原點，兩軸是x軸與y軸，則平面上每一點都有一個實數對(x,y)做為坐標。但在不在這個平面上的點如何描述呢？ 不在此平面上的點P必在平面E的上方或下方，所以對於空間中一點P做一直線L垂直E於Q，假設Q(a,b)，L以Q為原點坐標化，設P點在數線L上的坐標為c，a,b,c三數可以清楚的定出P點的空間位置。為了避免過P點且垂直平面E的L隨P點不同兒平行變動，所以固定過原點O做一數線垂直平面E，z軸。(2)空間坐標系：[名詞解釋]：x軸、yz軸就成為一個空間坐標系，這三個軸稱為坐標軸。它們兩兩互相垂直，且交會於同一點，即原點O，xy軸所決定的平面稱為xy平面，同理亦有yz平面、zx平面，這三個平面稱為坐標平面。[如何決定坐標]：P為空間中一點，若過一點P做一直線L垂直xy平面，設交點為Q，Qxy平面的坐標為(a,b)，P點在z軸上的投影點C，C點在z軸上的直線坐標為c，P點的坐標記為(a,b,c)，a,b,c分別為P點的x,y,z的坐標。[討論]：(a)若Q對x,y軸的投影點為A、BP點對於x,y軸的投影點會不會是A、B點呢？(b)這樣定義的P點坐標會不會是唯一呢？(3)空間中的距離公式： 設P(x1,y1,z1)、Q(x2,y2,z2) 則=。 ]：如圖，R(x1,y1,z2)、2=2+2(=。P在各坐標平面與各坐標軸的投影點： 點P(x,y,z)對yz平面之投影點為 (0,y,z) 。P(x,y,z)對zx平面之投影點為 (x,0,z) 。P(x,y,z)對xy平面之投影點為 (x,y,0) 。P(x,y,z)對x軸之投影點為 (x,0,0) 。P(x,y,z)對y軸之投影點為 (0,y,0) 。P(x,y,z)對z軸之投影點為 (0,0,z) 。(b)點P對於各坐標平面與各坐標軸的對稱點： 點P(x,y,z)關於yz平面之對稱點為 ((x,y,z) 。P(x,y,z)關於zx平面之對稱點為 (x,(y,z) 。P(x,y,z)關於xy平面之對稱點為 (x,y,(z) 。P(x,y,z)關於x軸之對稱點為 (x,(y,(z) 。P(x,y,z)關於y軸之對稱點為 ((x,y,(z) 。P(x,y,z)關於z軸之對稱點為 ((x,(y,z) 。結論：(a)點P與其對於各坐標平面與各坐標軸的對稱點的中點為點P在各坐標平面與 各坐標軸的投影點。(b)點P與其在各坐標平面與各坐標軸的投影點之距離為點P到各坐標平面與各 坐標軸的距離。 如右圖，有一邊長為1的正立方體，今置頂點A於空間坐標系中之原點(0,0,0)，B於正z軸上，則頂點C之z坐標為 。Ans：(0,0,) (88) 已知一正四面體，其中三頂點坐標分別為(0,0,0)，(2,0,0)及(1,1,)則另一點之坐標為 或 。Ans：(1,(1,)、(1,,) (80) 空間中線段在xy平面、、yz平面及zx平面上的投影長，分別為2、32，則長度為何？Ans： 設點P((3,14)，則點P到yz平面的距離為 ，點P到x軸的距離為 。 Ans：3， (ABC之三頂點坐標為A(4,2,4)、B((2,(1,6)、C(1,4,(2)，則(ABC為(A)等腰三角形 (B)正三角形 (C)銳角三角形 (D)直角三角形 (E)鈍角三角形。 Ans：(A)(D) 在第一卦限內有一點P，P到x軸、y軸、z軸的距離依次為、5、，則P點的坐標為 ；若不限制P點在第一卦限內，則符合題意的之P點共有 個。Ans：P(3,1,4)，8 線段在xy平面、yz平面及zx平面上的投影長，分別為、5、，則長度為何？Ans： (乙)空間向量的坐標表示法(1)空間向量的坐標表示：仿照平面坐標系中向量的表示法，在空間坐標系中，向量也可以用坐標表示。空間中兩點A(a1,a2,a3)、B(b1,b2,b3)，的起點A移至原點O，BP點，此時P點的坐標為(b1-a1,b2(a2,b3(a3)，(b1-a1,b2(a2,b3(a3)表示，=(b1-a1,b2(a2,b3(a3)。(2)加法、減法與係數積：設=(a1,a2,a3)，=(b1,b2,b3)，(a)+=(a1+b1，a2+b2，a3+ b3) (b)(=(a1(b1，a2(b2，a3(b3