解析几何中轨迹的探求.doc

解析几何中轨迹的探求 解析几何的基本问题是已知曲线，求出其轨迹方程；其次是已知曲线方程，研究曲线的性质。因此，如何求曲线的方程，是作为解析几何的其中一条主线贯穿于教材的始末。 一、其基本题型有两类： 1、已知曲线类型，求其方程——常用方法：待定系数法 2、未知曲线类型，求轨迹方程。 常用方法有：(1)直接法；(2)定义法；(3)相关点法；(4)交轨法；(5)参数法 二、求轨迹的本质：就是求曲线上任意一点M(x,y)满足的等量关系F(x,y)=0 三、求轨迹应注意：轨迹的“完备性”和“纯粹性” 直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求轨迹方程可用直接法。 例1：动点与两点A(a,0),B(-a,0)连线的斜率之积为m，求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线？ 解：设P(x,y)是轨迹上任意一点， 依题意： 当m=-1时，轨迹为圆心在原点，半径为|a|的圆 当m=0时，即y=0（x≠0） ， 轨迹为x轴且除去A、B两点 当m0时，轨迹为焦点在x轴上的双曲线且除去A、B两点 当m-1时，轨迹为焦点在y轴上的椭圆且除去A、B两点 当-1m0时，轨迹为焦点在x轴上的椭圆且除去A、B两点 定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出曲线方程。 例2：已知圆C1: (x-4)2+y2=169 , C2(x+4)2+y2=9，动圆在C1内部且和C1内切，和圆C2相外切，求动圆圆心轨迹。 解：设动圆圆心为M（x,y）,则|MC1|=13-r ; |MC2|=13+r |MC1|+|MC2|=16, 所以M点的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆 a=8, c=4 , b2=48 联想与类比：(1)已知动圆与两圆C1: (x-4)2+y2=1, C2(x+4)2+y2=9，都外切，求动圆圆心轨迹。 x2- y2/15=1(x0) 双曲线的右支 (2) 已知动圆M过点A(-1,0)且与直线x=1相切的动圆圆心轨迹。 y2=-4x 例3：已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2)以C为一个焦点作过A,B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程。 解：设F(x,y) 所以F的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的下支，a=1, c=7 ; b2=48 联想与类比：(1) F1,F2,是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向角F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P点，则P点的轨迹是 （ A） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 (2) 与圆x2+y2=1相外切与直线x=3相切的动圆的圆心轨迹方程_y2=-8(x-2)_。 (3) 方程表示的曲线是 （ C ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 相关点法：如果轨迹动点M(x，y)依赖于另一动点P(x0,y0)的变化而变化，而P(x0,y0)又在某已知曲线上，则可用x,y表示x0,y0，并将x0,y0，代入已知曲线方程便得动点M(x，y)的轨迹方程。 例4：已知椭圆,A、B是长轴的两个端点，P为椭圆上一动点，求AP中点的轨迹方程。 解： 联想与类比： (1) P点在抛物线y2=ax (a0) 上移动，点Q与P关于点(1,1)对称，求Q点的轨迹方程 （y-2）2= - a(x-2) P点在抛物线y2=ax (a0) 上移动，点Q与P关于直线l:x+y+5=0对称，求点的轨迹方程 (x+5)2= - a(y+5) 点拨：一曲线关于一定点中心对称、关于一直线轴对称的问题实质是相关点法求轨迹。 例5：椭圆C：，F是它的左焦点，M是椭圆C上的一个动点，O为坐标原点， (1) 求的重心G的轨迹方程； (2) 若的重心G对于原点O和点P张角成最大角，求点M的坐标。 解： 交轨法：如果所求轨迹是由两动曲线（直线）的交点所得，可恰当引进参数，写出两条动曲线，消去参数即得所求轨迹方程。 例6：椭圆的方程为（ab0），A1、A2是椭圆的左、右两顶点，P是椭圆上的任意一点，引A1QA1P、A2QA2P，设A1Q 与A2Q相交于Q，求Q点的轨迹方程。 联想与类比：设A1、A2是椭圆的长轴两端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹是___x2/9-y2/4=1__。 例7：已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l: y=x，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线AP和BQ的交点的轨迹方程。 参数法：如果轨