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实变函数复习课
复习题
一． 是非题（若命题正确, 在题后的括号内打√, 否则打×, 共 20 分）
1. 任意多个可数集的并集仍是可数集. ( ).
2. 可数多个可数集的并集仍是可数. ( ).
3 代数数的全体成一可数集. ( ).
3. 全体实数所成集合 R 的基数为 c. ( ).
4. 任意多个闭集之交仍是闭集. ( ).
5. 可测集之任意子集仍为可测集. ( ).
6. 凡开集，闭集都是L 可测集. ( ).
7 零测度集之任意子集仍为零测度集. ( ).
8. 设在 E 上 {f n (x)} 依测度收敛于 f(x) , 在 E 上 {f n (x)} 又依测
度收敛于 g (x ) , 则 在 E 上 f (x) g (x) . ( ).
9. 设在 E 上 {f n (x)} 依测度收敛于 f(x) , 在 E 上 {f n (x)} 又依测
度收敛于 g (x) , 则 在 E 上 a.e. f (x) g (x) . ( ).
10. 若 f (x) 在E 上 L-可积 , 则 |f (x) | 在E 上也 L-可积. ( ).
11. 设 f (x) 在 [a, b] 上 R-可积, 则 f (x) 在 [a, b] 上 L-可积. ( ).
12. 设 f (x) 在 [a, b] 上 L-可积, 则 f (x) 在 [a, b] 上 R-可积. ( ).
13. 设 mE 0 (但 E ≠φ ), 则对 E 上任何的实函数 f (x ) 都有 ∫E f (x )dx 0
( ).
14 设 {xn } 是 线 性 赋 范 空 间 E 中 的 收 敛 点 列 , 则 {xn } 必 有 界
( ).
二、填充题: (将正确答案填入横线上, 共 20 分).
1. 设 E 为 R n 中的任一点集, 给出集合 E 的外测度的定义：
2. 实函数 f(x) 是可测集合 E ⊂R n 上的可测函数的定义是
3. 叙述叶果洛夫定理:
4. 叙述压缩映射定理:
5. 若f 在可测集 E 上可积，则mE[| f | +∞] ____________.
6 给出四个 Banach 空间:
7. 叙述勒贝格控制收敛定理:
三、 试作出 (0,1] 与 [0,1] 之间的一一对应.
四、 设(X , d ) 是度量空间, 若对∀x , y ∈X , 定义
d (x, y)
d (x, y) ,
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