直管弯管相贯线放样计算模型.pdf

直管/弯管相贯线放样图计算模型 一、问题的提出 如图1 所示，弯管与直管相贯，其中直管与弯管的中心线位置关系有三种情 况（此处只考虑两管中心线在同一平面内情形）：相割、相切、相离。这种情况 等同于求一圆环与一圆柱相交所得空间交线的平面展开图，如图2 所示。根据工 程上的实际使用情况，只考虑相切的情况。 图1 图2 二、建立数学模型 图3 如图 3，设圆环旋转半径R 、环半径R ，直管半径R ，M 、M 为圆环与 1 2 3 0 1 直管交线在XOY 平面内的交点，L1 、L2 分别为圆环与直管交线在XOY 平面内 的一母线。则圆环绕Z=0 旋转后的方程为 第 1 页 共 6 页 2 (± x 2 + y 2 − R1 ) + z 2 R 22 ……………………… ① 或 x 2 + y 2 + R12 + z 2 − R 2 =±2R1 x 2 + y 2 （注：圆环关于XOY 平面对称） 直管圆柱面方程为 (x − R1 )2 + z 2 R32 ……………………… ② 联立①②，则得圆环与直管的交线（即相贯线）方程 ⎧ 2 2 2 2 2 (± x + y − R1 ) + z R 2 ⎪ ⎨ ……………………… ③ ⎪ x − R 2 + z 2 R 2 ( 1 ) 3 ⎩ 为便于求解，只求第一象限的交线，则定义域为 R − R ≤ x ≤ R + R ⎧ 1 3 1 3 ⎪ ⎨0 ≤ y ≤ R1 + R 2 ⎪ ≤ z ≤ MAX R R 0 { 2 , 3 } ⎩ 三、求解 直管沿母线L1 剪切展开后的图形大致类似于图4 ，圆环沿母线L2 剪切展开 后的图形大致类似于图5 。 图4 图5 在图 3 任取一动点 M(x’,y’,z’) ，当点 M(x’,y’,z’)沿方程③运动时，对应 于图4 、图5 中点M(x,y) 的运动轨迹即为所求。 从图3 和方程组③中可以得知，图4 、图5 的曲线是关于y 轴对称的， 所以只需研究图3 第一象限上半部分的曲线展开方程，即图4 、图5 中 的第二象限部分曲线方程。 1、直管相贯线展开方程 X ＝－( 图3 中直管上的截面圆上点M 到M1 所在母线L3 的一段弧长) Y ＝图3 中M 的Y 坐标值－图3 中M1 的Y 坐标值 第 2 页 共 6 页 X 的具体求解方法为：将直管投影在XOZ 平面上（见图6 ）。 如果图3 中x’ ≤R ，则弧长MM 为优弧；如x’ ＞R ，则弧长MM 为劣弧， 1 1 1 1 x − R X =−R arccos