向量线性相关性与秩.ppt

思考题 三、线性相关性的判定 四、小结 思考题 思考题解答 4.矩阵的秩 四、小结 1. 向量组等价 定义 ：如果向量组 中的每一个向量 都可以由向量组 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示， 即 就称向量组A与向量组B等价。 定理： 设 与 是两个向量组，如果 (2) 则向量组 必线性相关。 (1) 向量组 线性表示； 可以由向量组 推论1： 如果向量组 可以由向量组 线性表示，并且 线性无关，那么 推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 2. 极大线性无关组 定义: 注: （1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 简称极大无关组。 对向量组A，如果在A中有r个向量 满足： （2）任意r＋1个向量都线性相关（如果有的话） 线性无关； （1） 那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。 （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 例如：在向量组 中， 首先 线性无关， 又 线性相关， 所以 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 一. n维向量空间 分量为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 1. n 维向量 定义：n 个有次序的数 所组成的有序数组 称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 个数 称为第 个分量。 以后我们用小写希腊字母 来代表向量。 例如： n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 向量通常写成一行： 有时也写成一列： 称为行向量。 称为列向量。 分量全为零的向量 称为零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等：如果 n 维向量 的对应分量都相等，即 就称这两个向量相等，记为 向量加法：向量 称为向量 的和，记为 负向量：向量 称为向量 的负向量 向量减法： 数乘向量：设k为实数，向量 称为向量 与数k的数量乘积。记为 满足运算律： 注： （1）对任意的向量 存在唯一的零向量 使得 （2）对任意的向量 存在唯一的负向量 使得 （4）如果 则 （3） 　　确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 维向量的实际意义 　　若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用． 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 一、线性表示 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个同维的向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 线性方程组 向量间的线性运算关系： 方程1加方程2可以消去方程3， 说明方程3多余． 定义１ 线性方程组的向量表示 满足 注意 定义2 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 二、线性相关性的概念 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 定理2　向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　则有 即 能由其余向量线性表示. 证毕. 线性相关性在线性方程组中的应用 结论 解 例１