高等数学在线作业.doc

《高等数学(二)》08秋学期在线作业 1.??? 2.?? 3.??4.??? 5.?? 6.?? 7.?? 8.?? 9.?? 10.?? 11.?? 12.?? 13.??? ????? 14.??? 15.?? 16.?? 17.?? 18.? 19.??? 20.?? 21.?? 22.?? 23.?? 24.?? ?????? 25.?? 综合习题一 一．填空题 (1)设有定点，则 (2)已知不共线的非零向量和，则由与的夹角平分线上的单位向量为 (3)设，则 (4)设.三重积分在球面坐标系中可化为定积分,则 (5)把.展开成为以为周期的傅里叶级数时，其和函数在处的值 二．选择题 （1）设向量与这三个坐标面的夹角分别为时，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （2）设，则上的投影为 A. B. C. D. （3）函数的全微分为 A. B. C. D. (4)在一个侧面为旋转抛物面的容器内装有的水,现在容器内又注入水至,则水面比原来升高了 A. 6cm B. 2 cm C. 8 cm; D. cm. （5）周期为2的函数在一个周期内的表达式为若记它的傅里叶级数的和函数为，则的值为 A. 1 B. -1 C. 0 D. 三．解下列各题. （1）设有两点A（-7，2，-1）和B（3，4，10）.若平面过点B且垂直于线段AB，求平面的方程及点A到平面的距离. （2）求过点（1，2，-1）且与直线垂直并相交的直线方程. （3）求同时垂直于平面及，且与曲面相切的平面的方程. （4）设有一个等腰直角三角形的平面薄板，腰长各为，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这平面薄板的重心坐标. （5）求幂级数的和函数. 四．求下列各题的解. （1）从点（2，-1，-1）向平面引垂线，垂足为点，求平面的方程. （2）设函数可微，且，求. （3）计算，其中. 五．求解下列各题. （1）求异面直线及之间的距离. （2）若，，证明： 答案： 一　填空题： 1：答案：. 提示 因为，故知. 2：答案：. 提示 因为、夹角平分线的方向，必为的方向，而，，有 ， 则 . 3：答案： 提示 . 4：答案： 提示 ， 　　可知 　　　　　. 5：答案：. 提示 . 二、选择题 １．答案：Ｃ 提示 设，则 .故有. 故应选（C）. ２．答案：Ｂ 提示 . 则 . 故应选（B）. ３．答案：Ｂ 提示 . 故应选（B）. ４．答案：Ａ 提示 由与所围的立体的体积是 . 当时，；时，. 知 . 故应选（A）. ５．答案：Ａ 提示 . 故应选（A）. 三．解下列各题 1. 解 ，因为平面，所以可取，得平面的方程为 即 且有 或 2. 解 过点且与直线垂直的平面的方程为 即 则直线与平面的交点为：.由于 . 取则得所求的直线的方程为 . 3. 解 设所求的平面与曲面相切于点.则平面的法线向量为.而平面的法线向量为，平面的法线向量为. ,从而有方程组 于是有.又因为切点在曲面上. 可解出.于是有切点. 对于切点切平面的法线向量为.可知切平面的方程为 , 即 . 对切点,切平面的法线向量为.可知切平面的方程为 , 即 . 4. 解 见图12-5， 且面密度.于是 同理，可求得 故重心的坐标为 . 5. 解 设. 则 这里，，且有. . 故 ， 于是 有 四．求下列各题的解 1. 解 ，取为平面的法线向量，则得平面的方程为 即 . 2. 解 而 有 (这里 即 得 . 3. 解 原式. （4）把展为的幂级数. 解 五．求解下列各题. 1. 解 过直线作平面，使//则在上选定点则点到平面的距离即是所求的两条异面直线之间的距离. 设平面的法线向量为，则有 在上取点，则平面的方程为 即 而点到平面的距离为 说明 如果则两者的距离的求法更简单，在上取定点，再用求直线外一点到直线的距离公式，即可求出. 2. 证 （见图12-7）， 综合习题二 一．填空题 （1）数项级数的和为 . （2）幂级数的收敛区间为 . （3）已知两条直线的方程是，则过直线且平行于的平面方程是 . （4）设决定了函数，则 . (5)设由曲面与平面围成一个体积为1的立体,则 . 二．选择题 （1）设为常数，则级数 （A）绝对收敛 （B）条件收敛