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第三节 幂级数 函数项级数的概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 注：① 的收敛区间关于 对称； 而 的收敛区间关于 对称； ②若幂级数中的的幂次有间隔，不能用以上的方法求，而是直接利用比值法解出。 * * 预习 2. 正项级数的审敛法 3. 交错级数的审敛法 1. 级数的性质 一、函数项级数的概念 函数项级数： （1） 级数（1） 收敛点的全体称为它的收敛域 。 记 则 称 为余项. 例如, 对收敛域内每一点 和函数: 对确定的点 若 收敛， 称 为级数（1）的一个收敛点。 若 发散， 称 为级数（1） 的一个发散点。 二、幂级数及其收敛性 形如： （1） 或 （2） (1) 是关于 的幂级数， (2) 是关于 的幂级数. 例如, 幂级数 当 时, 当 时发散。 的收敛域为: 它收敛于 对于（1）， 令 则 证 1).设 在 处收敛, 2).反证法: 由1)知, 收敛, 证毕 则 绝对收敛。 矛盾。 定理1 （阿贝尔定理） 1）若 在 处收敛, 处绝对收敛; 则在满足 的点 2）若 在 处发散, 则在满足 的点 处发散。 收敛 当 时， 假设存在一点 且 收敛, (收敛的数列 必有界) 正数 R 称为幂级数 的收敛半径。 收敛区间为: 其中之一. 例如, 存在数 R =1, 当 时, 当 时, 发散。 所以 的收敛半径为 收敛区间为 R=1, 推论 轴上都收敛, 当 时, 当 时, 当 时, 不是仅在 一点收敛, 若幂级数 也不是在整个数 则必有一个确定的正数 R 存在, 使得 幂级数绝对收敛; 幂级数发散; 幂级数可能收敛也可能发散; 例1. 求幂级数 的收敛半径与收敛区间。 解 当 时, 发散; 当 时, 收敛， 收敛区间为: 定理2（幂级数收敛半径的求法） 设 对于幂级数 （2） 其中 是（2）中相邻两项的系数， 则其收敛半径为: 此法用于幂指数为连续自然数的情况 例2. 求幂级数 的收敛区间。 解 当 时, 收敛; 当 时, 收敛。 收敛区间为: 练习： 求幂级数的收敛半径及收敛区间: 收敛区间为: 级数只在 处收敛。 例3. 求幂级数 的收敛区间。 解 令 则幂级数变为: 收敛半径 当 时, 收敛; 当 时, 发散。 所以, 原级数的收敛区间为: 的收敛域为: 即 即 的收敛域为: 例4. 求幂级数 的收敛半径。 解 当 即 时, 级数收敛; 当 即 时, 级数发散。 所以, 该幂级数 的收敛半径为 用比值审敛法：如果 收敛，则 绝对收敛； 发散，则 发散。 三、幂级数的运算 设幂级数 的收敛半径分别为 则 且 1） 2） 其中 3） 由这些方程就可以顺序地求出系数 相除后所得的幂级数的收敛区间可能比原来的区间小的多。 性质2. 在 内可导, 且可逐项求导; 收敛半径， 说明 逐项求导或逐项求积后所得幂级数具有与原级数相同的 但收敛区间可能改变, 主要体现在端点处。 性质3. 在 内可积, 且可逐项求积; 幂级数 在收敛区间 内, 满足: 和函数 性质1. 在 内连续; 如果幂级数在 （或 ） 也收敛，则和函数 在 （或 ）连续。 收敛半径相同 收敛半径相同 * * * * *