概率论第二章第四节(更新).ppt

第二章 * 例6 解: 例7 某元件寿命X服从参数为 第二章 * 的指数分布。 求有一个这种元件能正常使用1000小时后， 还能使用2000小时以上的概率. 解： 只与增加的部分有关 指数分布具有无记忆性. 第二章 * 设X服从指数分布,则对任何两个正整数s0,t0,有 证明 又 同理，有 于是，得 例8 第二章 * 3、正态分布（非常重要！） 记作 f (x)所确定的概率密度曲线图叫作 正态曲线. 0 ? x (1) 定义： 若随机变量X的密度函数为: 第二章 * 0 ? x f (x)以x轴为渐近线. 第二章 * 第二章 * 第二章 * 0 ? x 第二章 * 密度函数 分布函数 第二章 * 　　书末P382附有标准正态分布函数数值表,有了它,可以解决一般正态分布的概率计算查表. (5) 标准正态分布表 x 0 x -x 注意表中 的值都是 0.5的！ 第二章 * 例9 设X～N(0, 1) 解： 第二章 * 第二章 * (5)一般正态分布与标准正态分布的关系 定理 0 ? x 第二章 * (5)一般正态分布与标准正态分布的关系 定理 一般正态分布的概率计算 一般正态分布的标准化！ 第二章 * 第二章 * 例8 解： 第二章 * 第二章 * 因X ~ N(2, ? 2)，从而 又 所以 从而 1?0.8=0.2 例9 解 第二章 * 0 概率值 就是 右侧所围的面积 * * * * * * 第二章 * 一、定义: 设随机变量X 的分布函数为F(x), 如果存在一个非负可积函数 f(x) , 使对于任意实数x有 则称X 为连续型随机变量，称函数f(x)为X 的概率密度函数，简称密度函数。 二、概率密度函数的性质： f (x) x o 面积为1 用来求待定常数，或判定某函数是否为概率密度函数。 第二章 * x0 f(x) x 几何含义 几点说明： 第二章 * 这是因为 (3)不可能事件 概率为0，但反之不真； 必然事件 概率为1，但反之不真。 (5) 设X是连续型随机变量。对任意区间G (可以是开区间、闭区间、半开半闭区间、有限区间或无限区间)，则 (4) 对连续型 随机变量X, 有 第二章 * (6) 例1 已知随机变量 的密度函数为 0 1 2 第二章 * 0 1 2 (1)找f(x)的跳跃点，根据各跳跃点将实轴划分成几个区间； (2)分别在这几个区间上利用积分求分布函数F(x). 解： 这是x的范围， 不是积分范围！！ 第二章 * 第二章 * 有两种方法！ 综上， 第二章 * 例2 解：(1) 求密度函数中的未知字母时，利用密度函数的性质来做。 直接积分法： 利用偶函数性质： 综上， 注意：f(x)变化的的分界点(跳跃点)为x=0，将密度函数写成分段函数的形式 第二章 * (3) f(x)变化的的分界点(跳跃点)为x=0 所以 第二章 * 解： 例3 (1) 由密度函数的性质 第二章 * (2) 第二章 * 所以X的分布函数为 第二章 * 变上限积分对上限的求导定理： 第二章 * 例4 解 又因连续型随机变量分布函数是连续的，故 于是 第二章 * 在各区间对F(x)直接求导得到f(x). 又见例1 已知随机变量 的密度函数为 第二章 * 1、均匀分布 若随机变量X的密度函数为 a b x 非连续函数！ 求分布函数！ 先找跳跃点 再求各段积分 第二章 * 第二章 * a b x 1 第二章 * a b x c d 相当于几何概型中求面积！ 均匀分布的背景：几何概型（利用面积、体积等度量来求无限个 样本点的样本空间中的概率问题） 例5 设公共汽车从上午7点后每隔15分钟来一班，如果设某乘客到达此站点的时间为7:00到7:30之间的均匀随机变量。试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率。 解：设该乘客于7时X分到达此站点，则 第二章 * 2、指数分布 若随机变量X的密度函数为: 分布函数 0 x 0 x 1 例：元器件的寿命