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求极限的多种方法 求极限的多种方法 对于极限我们可以有多种的求解方法，针对不同的题型特点我们可以采取不同的方法使求解变的简便。下面我利用自己的所学介绍几种求极限的方法。 一，根据迫敛性求极限 1，求数列极限 定理2.6：设收敛数列{}，{}都以a为极限，数列{}满足：存在正数,当n,时有≤≤ ，则数列{}收敛，且。 例 （） ≤≤≡1 = =1 所以（）=1 把一个复杂的数列，规划在两个简单的式子范围里，简单的式子极限容易求得，在依据迫敛性，即可求出所要求的复杂数列极限。 2，求函数极限 定理3.6：设且在某内有则 例 求 当x.0时，1-x＜≤1而（1-x）=1故由迫敛性可知，=1 另一方面，当x0时，有1＜≤1-x，故由迫敛性又可得，=1 综上我们求得=1 二，利用四则运算求极限 定理3.7：若极限f(x)与g(x)都存在，则函数f+g,f-g,f.g,，当x的极限也存在，且 1) [f(x)±g(x)]＝f(x)±g(x) 2) [f(x)g(x)] ＝f(x).g(x) 3) ＝f(x)／g(x) 例2 (xtanx-1) 解 由xtanx=x sinx== cosx 按四则运算法则有 (xtanx-1)= x. －1= 利用四则运算可把复杂的式子转化为简单的式子加减乘除形式分别求简单式子的极限，这样就容易求出复杂的式子极限。 三，两个重要极限 =e 求 = 例3 求 =[] == 转换为与两个重要极限相似的类型就容易求解了。. 四，运用洛比达法则求不定式极限 1，型不定式极限 定理6.6若函数f和g满足 1）f(x)= g(x)=0 2)在点x0的某空心领域内两者可导且≠0 3）=A则==A 例2 求 解容易检验f(x)=1+cosx与g(x)=在点x0=π的领域内满足的条件1）和2） 故洛比达法则得 = 2，型不定极限 定理6.7若函数f和g满足 1）f(x)= g(x)=∞ 2)在x0的某右领域为两者可导，且≠0 3）=A 则==A 例2 解;由定理6.7有 = 3，其他类型不定式极限 例7 求 解：这是一个0.∞型不定式极限，用恒等变形xlnx=将它转化为型的不定式极限，并应用洛比达则 ==(-x)=0 例8 求 解;这是一个型不定式极限，做恒等变换 其指数部分的极限是型不定式极限，可先求的=-1/2 从而得到= 例10 求 这是一个型不定式极限，类似先求对数极限 ==1 于是有 =e 五，利用泰勒公式求极限 求极限 首先考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限分子（取n=4） Cosx=1-+ =1-+ Cosx-=- 因而求得 == - 六，应用定积分定义求极限 例2 利用定积分求极限 （）=J 解：把此极限化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分，为此作如下变形 J= 不难看出来，其中的和式是函数f(x)=在区间[0,1]上的一个积分和（这里所取得等分分割），所以 J= 参考文献： 数学分析（上下册） 第三版 华东师范大学数学系编 08级六班 黄倩