会求初等函数的导数理解微分.PPT

第二章 导数、微分及其应用 实例2 曲线的切线问题 * * 目的与要求 理解导数(the derivative)的定义,几何意义及简单 的物理意义； 熟记基本初等函数的导数公式； 会求初等函数的导数； 理解微分(differentials)的定义，会求函数的微分； 会利用L’Hospital法则求函数的极限； 会利用导数判断函数的增减性、凹凸性、拐点、 极值及最值. 目的与要求 2.1 导数的概念 理解导数的概念,了解导数的几何意义，会求平 面曲线的切线方程和法线方程， 了解导数的物理意义， 理解函数的可导性和连续性之间的关系， 掌握基本初等函数的导数公式。 研究某个变量相对于另一个变量变化 导数研究的问题 的快慢程度． 变化率问题 导数产生的背景 2、望远镜的光程设计需要确定曲面上任一点的法线 1、确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率 3、确定炮弹的最大射程 4、寻求行星轨道的近日点及与远日点等涉及求函数的极大值、极小值问题 Newton 牛 顿 （1642—1727）英国物理学家和数学家．他在物理学上最主要的成就是发现了万有引力定律.数学上，他与德国莱布尼兹创建了“微积分学”，并提出了微分符号. 莱布尼兹 Leibniz （1646—1716）德国著名的自然科学家、数学家、物理学家和哲学家．他在数学上的成就，是与莱牛顿创建了“微积分学”，并提出了积分符号. 实例1 瞬时速度问题 设运动物体的运动方程为s = s(t), 则在t与t0 之间平均速度 t0 时刻的（瞬时）速度 2.1.1 两个实例 x o y y=f(x) P(x0,y0) Q(x1,y1) 当自变量从x0变化到x1时， 相应的函数值从f(x0)变化到f(x1) △y= f(x1)- f(x0) 函数值的增量 △x= x1- x0 自变量的增量 M △x △y y0=f(x0)， y1=f(x1) Q(x0+ △x,y0+ △y) △y=f(x0+ △x)-f(x0) 实例2 曲线的切线问题 当点Q沿着曲线无限接近于点P， 如果割线PQ有一个极限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。 即△x→0时, T 设函数 在 的某一邻域内有定义. 当自变量 在 取得增量 (点 仍在该邻域 内)时, 因变量 也取得增量 如果 与 之比当 时的极限存在， 则称函数 在点 处可导， 并称这个极限值为 在点 处的导数， 记作 即 也可记作 2.1.2 导数的定义 1.函数在一点处可导的概念 定义1 在 处不可导 则称 如果 不存在， ★ ★ 关于导数的说明： 单侧导数 （2）右导数 （1）左导数: ★ 例1 解 若函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都可导，就称函数f(x)在区间(a,b)上可导。 2.导函数的概念 函数 在区间 ， 导函数，即 内有一 也可记作 ， 注：通常，导函数也简称为导数． 联系： 即 函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的值， 步骤: 例2 解 3.由定义求导数 例3 解 更一般地 例如, 例4 解 2.1.3 导数的几何意义 例5 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 *