一次方程式组之解法及矩阵列运算.DOC

3-1一次方程式組的解法與矩陣的列運算 重點整理 聯立方程式組之解法：(1)代入消去法，(2)加減消去法，(3)高斯消去法，(4)公式解。 矩陣：把一些數列排成矩形陣列，並用一對括號圍起來就是一矩陣，通常以大寫字母，如表一矩陣。 矩陣介紹：設為一矩陣(1)元素：矩陣中代表其第列、第行的元素。(2)列：在一矩陣中，位於同一水平線上的各元，合稱為這個矩陣的一列，而且列的順序習慣上由上至下編號，依次叫第一列、第二列、第三列、…….。(3)行：位於同一鉛直線上的各元合稱為該矩陣的一行。(4)階數：若一矩陣共有列且有行，我們稱之為階矩陣，簡稱為矩陣，其階數為階。(5)方陣：當一矩陣之列數與行數相等，我們稱之為方陣，而矩陣（方陣），則簡稱為階方陣。 係數矩陣：將一次方程式組之係數依序列出來之矩陣，叫此方程式組之係數矩陣。 增廣矩陣：將一次方程式組的係數及常數項依序列出來叫此方程式組之增廣矩陣。 矩陣的基本列運算：(i)任意兩列對調，通常以表示第列與第列對調的列運算。(ii)將某一列乘以一個不為0的數，通常以表示第列乘以的列運算。(iii)任一列乘以任一數後加入其它一列，通常以表示第列乘以後加入第列的列運算。 簡化矩陣：將一矩陣進行列運算，可使每一個不為零之列中，第一個不等於0的元所屬的行中只有這個元不等於0，如此之矩陣叫簡化矩陣。例：都是簡化矩陣，但都不是簡化矩陣。 高斯消去法：利用列運算，重覆依照下列步驟：(i)作列運算，使第一列第一行為1，(ii)作列運算，使第二列以下的第一行全部化為0，(iii)作列運算，使第二列第二行為1，若沒辦法，則使第二列第三行為1，必使其下方的數全部化為0。經過此步驟，最後得到的矩陣又稱為梯陣，如此可解出一次方程組。 秩：一矩陣經列運算，化為簡化矩陣後，其不含0之元之列數，叫此矩陣之秩。 有解與無解之判斷：設（L）為一個元一次方程組，(1)若（L）的係數矩陣與增廣矩陣的秩相等都為，則方程組（L）可能(i) 則恰有一解，(ii)則無限多解。(2)若（L）的係數矩陣與增廣矩陣的秩不相等，則方程組（L）無解。 解的方程式 解方程組 類1. 解方程組。 類2. 解方程組。 類3. 解方程組。 Ans: 1. ，2. 無解，3. 。 解方程組。 類1. 解方程組 類2. 。 Ans: 1. ，2. (x , y) = (0 , 0) or (2 , ?1)。 於矩陣　　　　中，(1)第一列及第三列為何？　(2)第二行及第四行為何？(3)其階數為？ 類1. 設　 間：(1)有幾行？有幾列？ (2)是否方陣？(3)求(1,1)元、(2,3)元、(3,1)元。 類2. 設三階方陣，，求此方陣。Ans: (1)3,3(2)是,(3)2,4,1，2.。 利用高斯消去法及高斯喬登消去法解方程組。 類1. 求下列三平面的交點，。 Ans: 1. 。 (1)若方程組有解，求。(2)求直線的交點。(3)試判定方程組　是否有解？若有解則為恰有一解或無限多解？(4)試求方程組　 的解。 類1. 解方程組(1)。(2)。(3)。(4) 類2. 有一工程，甲乙丙三人合作，5天可完成，如甲以二人合作，6天可完成，若甲作五天，剩下由丙作，還要20天才可完成。則若甲乙丙獨作，各需幾天？ Ans: 1. (1)無解(2) (3) (4)無解，2. 甲15天,乙10天,丙30天。 8 心得筆記