优秀试验报告一.DOC

实验2：π的计算 学院：机械与动力工程学院 姓名：唐子彦 学号：515020910137 实验目的 通过求π的近似值，了解历史上计算π值的一些方法，包括刘徽割圆术、级数展开、数值积分和Monte Carlo法等. 复习微积分中相关知识，比较它们的差异，了解计算方法对提高计算效率的意义. 实验内容 利用鲁道夫割圆术计算π值 【问题】德国人鲁道夫一生计算圆周率，他同样是用圆的内接多边形逼近圆周. 不过，他是从正方形开始成倍增加边数. 试推导出他计算所采用的递推公式，然后求π的近似值到10位和20位有效数字. 【解】 图1.1 为通过“鲁道夫法”计算π的近似值，现编写M文件如下： 为求出指定有效数字位数的π值，还需编写M文件如下： 运行结果如下： 图1.2 【答】由图1.2不难发现，“鲁道夫法”计算π值效率较高，n=16时即可得到π的10位有效数字，n=32时即可得到π的20位有效数字. 然而，由于中途过程涉及开方等运算，因此计算较为复杂繁琐. 利用幂级数展开式计算π值 【问题】简单公式，Machin公式，以及公式. 试验证上述三个公式（分别记为公式1、2、3），并利用反正切函数的幂级数展开式求π值，比较上述三公式的计算效率. 此外，再找出一种利用幂级数展开式求π的方法并验证之. 【解】 为利用上述三个公式求出π值，现编写以下三个M文件： 第一个M文件，对应于公式1： 第二个M文件，对应于公式2： 第三个M文件，对应于公式3： 为比较它们计算指定有效数字位数的π值的效率，还需编写M文件如下（详见第五页）： 运行结果如下（每五个为一组）： 图2.1 图2.2 图2.3 图2.4 从上述四幅图中可以看出，公式1、3的计算效率基本相同，而公式2的计算效率高于其他两个. 然而，从有效数字位数m=15开始，所得结果中公式1、2、3所需项数不再增加，这可能是MATLAB本身的原因. 个人猜测：当MATLAB计算到一个与π极为相近的数时，可能将其自动补全为π，而没有继续计算. 为试图解决该问题，可改用C++进行编程，所需的CPP文件如下： 运行结果（每五个为一组）见第9页. 从运行结果来看，有效数字位数m=1~16均可得到正确的项数n1、n2、n3. 然而当m=17时，或许是由于C++语言中long double类型的计算精度有限，无法进行高精度的浮点运算，导致循环条件恒为真，即程序进入死循环，无法得出正确结果. 对于m17的情形更是如此（参见图2.8）. 图2.5 图2.6 左图：图2.7 下图：图2.8 为比较公式4与前三个公式的计算效率，现编写M文件如下： 输入图2.9所示命令行，运行结果如下： 图2.10 【答】对比以上四公式的计算结果不难发现，公式1、3计算效率大致相同且较低，公式2的计算效率最高，公式4的计算效率介于它们之间比公式1、3略高。 数值积分计算π值 【问题】利用数值积分计算π，分别用“梯形法”和“Simpson法”精确到10位有效数字，再用“Simpson法”精确到15位有效数字. 【解】在本题中，“梯形法”和“Simpson法”的计算原理如下： 为利用数值积分计算π值，现编写如下两个M文件： 为计算指定有效数字位数的π值，还需编写以下两个M文件： (1)梯形法： (2)Simpson法： 运行结果见第14页图3.1. 图3.1 【答】由图3.1知，利用“梯形法”和“Simpson法”计算10位有效数字的π值所需的最少划分份数分别为12910和20；利用“Simpson法”计算15位有效数字的π值所需的最少划分份数为92. 此外不难发现，当指定相同有效数字位数时，“Simpson法”所需的划分份数远少于“梯形法”. 换言之，当划分份数一定时，“Simpson法”的计算精度远高于“梯形法”. 综上所述，“Simpson法”的计算效率远高于“梯形法”. 利用Monte Carl