单元若干数学问题中的数学文化档案.DOC

若干數學問題中的數學文化 有關黃金比例的研究歷史綿延了2600年之久，歐幾里得在＜幾何原本＞卷六中對「中末比」的定義，這是自古以來即為人所熟之的幾何比例。十九世紀時人們為它起了「黃金比例」、「黃金數字」、「黃金分割」等名字，這個比例是一個無理數，和π一樣也被給予一個符號Φ(phi)。Φ的歷史多采多姿，常出現在一些不相干的現象中，往往「令人驚奇」，五角星形中的等腰三角形、鸚鵡螺美麗的螺線結構、達利畫作＜最後的晚餐盛餐＞、兔子的繁殖、植物葉子生長位置的排列、星系結構，以及從數學到藝術等等，竟然都和Φ有關，黃金比例 Φ = 1.6180339887……。 將直線AB分割成兩段AC、CB，使長段與短段之比等於全長與長段之比 此比例稱為「黃金比例」，以Φ表示。見圖 圖 證明如下： AC/CB = AB/AC 設AC為 CB為1 則 ，化簡 另外，連分數的式子及無窮無盡的平方根，是否會收斂到一個固定的值呢？ 　　與 經推導，所得的式子與正是定義黃金比例的方程式，因此兩者皆收斂到定值Φ。 給黃金比例取了Φ這個名字，是為了表達對古希臘最偉大的雕刻家費底亞斯(Phidias,490~430B.C.)致敬。費底亞斯最令人津津樂道的作品是矗立在雅典巴特農神殿的雅典娜女神像，以及奧林匹亞神廟中的宙斯像。因為有不少藝術史家都承認，費底亞斯經常在他的雕塑作品中應用到黃金比例，1884年出版的『黃金分割』ㄧ書中作者柴興聲稱巴特農神殿建築正面的高度(屋頂三角面的頂端到基座底的高度)與支柱高度之比恰是黃金比例。 巴特農神殿 藝術作品中與黃金比例有關的，尚有著名的『米羅的維納斯』雕像，維納斯的身高與肚臍高度之比，就接近黃金比例Φ。以及達文西的『維特魯威人』，圖中人物手臂伸開和身體長度相同；伸展四肢時身體外接一個圓，身高除以肚臍高度也是黃金比例。見圖 圖三維特魯威人 幾何圖形中的五角星形和正五邊形的關係密切，把五邊形的頂點以對角線相互連接就能得到五角星形。這些對角線又在中心形成一個小五邊形，小五邊形的對角線又形成一個更小的五角星形……。圖中a,b,c,d,e,f之間的比都是黃金比例Φ 圖四五角星形 下圖中的36-72-72三角形稱為黃金三角形，其斜邊和底之比為Φ。兩側的兩個三角形，其短邊和長底之比為1/ Φ，稱為黃金磬折形，可以被分割成更小的黃金三角形及黃金磬折形。正五邊形的每一個內角 = 108(，如圖中的(ABD與(DCB為相似三角形 AB/DB = CD/CB AC = CD = DB AB/AC = AC/CB = Φ 　 　「一筆畫」問題(見徐力行(2003)p.14)-指每一條線段只能描繪一次，不得重複。當筆尖一旦接觸到紙面時，可以直到全部畫完才離開紙面，相同的線段不會出現二次。 設有圖形如圖所示，問此圖能否「一筆畫」? 　　 方法如下，將圖-A中線段交點的位置編上英文字母後，見圖-B，並提供一組答案，如圖-C所示，同學試著練習其他解法，並記錄起點與終點位置，在不同的答案中是否有某特殊現象，有何特別之處。起點或終點以外的任何一點，其出入經過次數一定是偶數。此概念是由數學大師歐拉提出的。另一著名例子，七橋問題，起因於瀕臨波羅的海一座美麗古城-哥尼斯堡(Knigsberg)被Pregel河貫穿全城，Pregel河有二條支流，於是人們建造了七座橋，見圖。 圖七橋問題 城中居民常在飯後散步，卻發現無論怎麼走，都無法將每座橋恰好走過一遍並回到原出發點，最初許多人認為這是一件容易的事，誰都樂意去試試看，但嘗試之後發現不得其解，於是有人便跑去請教數學大師歐拉，歐拉思考後發現此一問題相當於問「起點與終點相同的一筆畫」問題，見圖及圖b，因線段的交點皆是奇數且超過2個以上，故無法將每座橋恰好走過一遍並回到原出發點，後來為紀念大師歐拉稱「歐拉圖形」。 圖a 虛線標示路徑 圖b 線段表連接兩島間的橋樑 當圖不能一筆畫時，是否問題就此打住了，事實上對於好奇的學生，可能會思考那應該最少幾筆方可達成?而這就是數學想要學生換角度思考的用意，瞭解後對於問題的想法及解法，試著用不同的方式去處理問題，而不會輕言放棄。 而這些內容卻是「離散數學」的重要課題，而離散數學則是資工系必修科目，期望學生能從中激發想像空間，進而踏進計算機圖形理論的殿堂。此外，一筆劃與走捷徑相似，對現今高油價時代如何有效運輸提高效率與節能相當重要，並與當代議題做結合。 幾何的發源 埃及尼羅河每年氾濫一次,河旁肥沃的田園經過河水的蹂躪，田界頓失，田地主權之爭紛起。因此，農民為解決地權的爭議需要，就發明一些簡單的幾何圖形與測量方法。古埃及幾何的輝煌一直到現在還是有跡可循－「金字塔」即是一例。此外，天文學家更測量出千里之外地