向量空间-Eduwest.PPT

第11讲 向量组的极大无关组 主要内容： 1. 两个向量组等价 2. 向量组的极大无关组 3.3 向量组的极大无关组 3.3.1 两个向量组等价 Def 3.7 设A和B是两个向量组，若向量组B中的每个向量可由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示(B linearly expressed by A). 若向量组A与向量组B可相互表示，则称向量组A与向量组B等价(equivalent Vector sets). * * 设向量组A: ?1, ?2,…, ?m, 向量组B: ?1, ? 2,…, ?n. 若向量组B可由向量组A线性表示，则下列每个线性方程组 都有解，利用上面的等式对(A, B)进行矩阵的初等列变换可以将其化成(A, O)，进而有R(A) = R(A, B). 反过来,若R(A) = R(A, B), 则向量组B可由向量组A线性表示. Theorem 3.2 向量组B可由向量组A线性表示的充要条件是R(A) = R(A, B). 对于矩阵方程AX = B，例如 它有解的充要条件就是向量组B可由向量组A线性表示，即R(A) = R(A, B). 该结论推广了第1章定理1.1: Ax = b有解的充要条件是R(A) = R(A, b). 根据上述定理知，向量组A可由向量组B线性表示的充要条件是R(A) = R(B, A). = R(A, B). 于是有 Corollary 1 向量组A与向量组B等价的充要条件是R(A) = R(B) = R(A, B). 若R(B) = R(A, B),因为R(A) ≤ R(A, B), 所以有 Corollary 2 若向量组A可由向量组B线性表示，则R(A) ≤ R(B). 例3.9 设向量组 A 证明：向量组B可由向量组A线性表示. Proof R(A) = R(A, B) = 2. 因为定理3.2的结论不容易记住，主要是R(A) = R(A, B)和R(B) = R(A, B)容易混淆. 可直接根据定义验证向量组B的三个向量是否可由向量组A线性表示. 例3.10 下列两个向量组等价: Proof 显然向量组i, j, k可由向量组R3线性表示. R2? 对于下列向量组A和B,由于?3 = -2?1 + ?2 ,所以向量组A与向量组B等价. 线性方程组 的增广矩阵的三个行向量分别为?1, ?2, ?3 . 由于将第1个方程两边乘以-2加到第2个方程，就得到第3个方程，即?3 = -2?1 + ?2 , 因此上述线性方程组与线性方程组 同解. 所以，两个线性方程组同解又称为这两个线性方程组等价，是指增广矩阵的行向量组等价，这也是考虑向量组等价的一个原因. 向量组之间的等价关系具有以下3条性质，其证明是显然的. (1)自反性 任意向量组A与A本身等价. (2) 对称性 若向量组A与向量组B等价，则向量组B与向量组A等价. (3) 传递性 若向量组A与向量组B等价且向量组B与向量组C等价，则向量组A与向量组C等价. 3.3.2 向量组的极大无关组 1. 向量组的极大无关组的定义 在一个向量组中，总希望在其中找出一个所含向量个数最多的线性无关的向量组. 例如在向量组 Def 3.8 给定向量组A，若存在部分组B，满足 (1) 向量组B线性无关. (2) 任意真包含B的部分组均线性相关. 则称B是A的极大线性无关组，简称极大无关组(maximal subset with linear independence). 只有零向量的向量组不存在极大无关组. 换句话说，含有非零向量的向量组均存在极大无关组. 下述定理在进一步的讨论中至关重要. Theorem 3.3 设向量组?1, ?2,…, ?n线性无关，向量组?1, ?2,…, ?n, ?线性相关，则?可由向量组?1, ?2,…, ?n线性表示且表示形式是唯一的. Proof 由于向量组?1, ?2,…, ?n, ?线性相关, 则存在一组不全为0的数k1, k2,…, kn, k,使得 k = 0? k ? 0: 假设 例3.11 设向量组?1, ?2, ?3线性相关，向量组?2, ?3, ?4线性无关，证明 (1) ?1可由?2, ?3线性表示. (2) ?4不能由?1, ?2, ?3线性表示. Proof (1)由于向量组?2, ?3, ?4线性无关,于是?2, ?3线性无关.又因为?1, ?2, ?3线性相关，根据定理3.2知， ?1可由?2, ?3线性表示. (2) (反证法) 如果?4能由?1, ?2, ?3线性表示,再根据(1)得?4能由?2, ?3线性表示.根据定理3.1知，?2, ?