中间投票人定理.ppt

中位数定理的关键假设： （1）议案定义为一维向量x； （2）每位投票者的偏好是单峰的； 令投票者i的偏好由定义在x上的效用函数Ui(x)表示，令xi*为投票者在x向量上的最偏好点，称为i的理想点。 定义：xi*是i的最理想点，当且仅当对所有的x不等于xi*，有Ui(xi*)Ui(x)。 定义：令y和z是x维度上的两点，使得 y,z ≧ xi*或者y,z ≦ xi*，那么，投票者i的偏好是单峰地方，当且仅当 [Ui(y)Ui(z)] ←→ [∣y-xi*∣ ∣z-xi*∣] 换言之，单峰偏好的定义说明，如果y和z都在xi*同一边，那么，与z相比，i更偏好y，当期仅当y比z更靠近xi*。 定义：设{x1*,x2*……xn*}为n人组成的委员会成员的理想点，设NR为xi* ≧ xm的个数，NL为xi* ≦ xm的个数，则xm为中位置，当且仅当NR ≧ n/2,且NL ≧ n/2 定理：如果x是单维的议案，且所有投票者的偏好在x上是单峰的，那么，中位置xm在多数通过的规则下不会失败。 证明：考虑任意的z不等于xm，如zxm，令Rm为xm右边的理想点的个数，由单峰偏好的定义可知，所有理想点在xm右边的Rm个投票者更偏爱xm而不是z； 由中位置的定义，Rm大于n/2 因此，与z相比，更偏爱xm的投票者人数至少为Rm ≧ n/2 在多数规则下，xm不会失利于z。 同理可以证明，xm也不会失利于任何的zxm。