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计算力学课程9
* 平面问题有限元法 平面应变问题——矩形单元 物体在一个坐标方向尺寸较“大 ”； 物体受力位于平面内； 物体材料为线弹性、各向同性、均匀。 常应变三角形单元的优缺点： 提高精度的p方法： 平面应变问题： 完备性检查：1.常位移项；2.常应变项 协调性检查：两个单元公共边变形后仍为公共边 1. 单元描述 2. 假设单元位移场 坐标变换 3. 推导单元应变场 4. 推导单元应力场 5. 建立单元平衡方程 (虚位移原理) 任意四边形单元 1. 单元描述 2. 假设单元位移场 3. 推导单元应变场 4. 推导单元应力场 5. 建立单元平衡方程 (虚位移原理) 6. 计算结果 ??? 1 2 1-2边: 过1、2两点只能确定4个系数，故公共边1-2变形后不唯一。 特殊的坐标变换 回顾矩形单元: ? 普通坐标变换——平移、旋转 特殊坐标变换——形状改变 假设变换后为标准正方形 假设坐标关系 检验： 1、4点： 1-4边： 例：图示物理坐标系下的单元映射到自然坐标系，写出2-3边直线方程，求自然坐标（r,s)为(1,0.5)点的物理坐标。 2-3边：r=1 消去s得： 代入s=0.5得： 任意四边形等参元 1. 坐标变换 2. 假设映射坐标系下的单元位移场 完备性检查：1.常位移项；2.常应变项 设物理坐标位移场： 在各节点上： 代入映射坐标位移场： 协调性检查：两个单元公共边变形后仍为公共边 1 2 (1) (2) 在单元(1)上：r=1 在单元(2)上：r=-1 3. 推导单元应变场 Jacobian矩阵 Jacobian矩阵逆的计算 Cramer法: 例: 4. 推导单元应力场 5. 建立单元平衡方程 (虚位移原理) *
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