北邮《微积分》教学-2.5　极限存在准则及两个重要极限.pptVIP

§2.5 极限存在准则及两个重要极限 一.极限存在准则 二.两个重要极限 本节先介绍极限存在准则, 并利用它们来导出两个重要极限. 一.极限存在准则 定理2.5.1 (夹逼准则） 如果数列 满足下列条件: 则数列{ xn} 的极限存在, 且 证明 因 根据数列极限的定义, 对任意给定 存在正整数 , 又 对上述 , 存在正整数 , 同时成立, 于是当 即 成立, 所以 上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况. 准则I’ 设函数 满足 则有 存在， 且等于A. 即： 此推论的证明与数列的情况完全类似.定理及推论均称为 夹逼准则. 例1 求 解 设 , 因为 且 ， 则由夹逼准则，可得 单调有界准则 若数列 满足 则称 是单调不减有界数列 ; 如果数列 满足 则称 是单调不增有界数列. 单调不减有界数列和单调不增有界数列统称为单调有界数列. 这个定理的证明超出本书要求, 在此从略. 定理2.5.2 单调有界数列必有极限. 例如, 数列 是单调增加的, 且 , 其极限 存在且为1. 由定理2.1.2知道, 收敛的数列一定有界, 但有界的数列却不 一定收敛. 该定理表明, 如果一个数列不仅有界, 而且单调, 则 该数列一定收敛. 二.两个重要极限 从而可求 1. 1 A o B C D ? x ? 证 因为 故只须讨论 x 0 的情形. 在如右图的单位圆中, 设 ΔAOB的面积 扇形AOB的面积 ΔAOD的面积 从而 从而 两端同除以 sinx 得 故 即 例2 求 解 解 例3 求 解 例4 我们证明数列{ xn} 满足定理2.5.2的条件. (1) 数列{ xn} 是单调增加的. 由牛顿二项公式，有： 类似地，有 因为 且 多了最后一项, 从而 {xn} 是单增的. 故{xn} 有上界, 从而 存在. (2) 数列 {xn} 是有界的. 应当指出 , 根据定理2.5.2 , 我们只是定性的说明该数 列 的极限存在, 并未给出数列 极限的具体数值. 由于其推 导超出本书范围, 这里仅给出其结果, 这个极限值被瑞士欧 拉首先用字母e (是一个无理数, 其值e=2.7182818284……). 根据定理2.5.2, 该数列 的极限存在. 综述所述, 有 利用这个结果和夹逼准则, 我们可以证明(证明从略) 对于一般的实数, 仍然有 如果作变量替换, 令 于是有 , 则当 时, 例5 求 解 例6 求 解 解 例7 求 注 为使计算简化, 我们给出一个对“1∞”型非常适用的 结论: 如例7 也可以按下面的过程求解：