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第二章 一元函数导数和微分 【导数的概念】 【变速直线运动的瞬时速度】 设质点由原点开始作变速直线运动，它对原点的位移是时间的函数. 若在时刻，时间的增量为，则质点位移对应的增量为， 这段时间内质点的平均速度为. 把极限定义为时刻的瞬时速度：. 【例题】（89年，数学三）设，则 ． 【例题】（12年，数学一/数学二/数学三） 设函数，其中为正整数，则．． （B）． （C）． （D）． 【解析】 ．故选（A）． 【习题】设，其中在点处连续，求. 【习题】（11年，数学二/数学三） 设函数在处可导，且，则． （A）． （B）． （C）． （D）． 【解析】原式 .故选（B）． 【综合题】（90年，数学四/数学五）设函数对任意均满足等式，且有，其中为非零常数，则． （A）在处不可导．在处可导，且．在处可导，且．在处可导，且． .故选（D）． 【左右导数定义】【导数的充要条件】 在点处可导. 【例题】（94年，数学三）设则在处的． （A）左、右导数都存在．．．． 所以不存在．故选（B）. 【例题】（06年，数学三/数学四）设函数在处连续，且，则． （A）且存在．且存在．且存在．且存在． 【解析】由可知． 又在处连续，故，所以有 故，但由此不能保证存在．故选（C）．（A）错误． 又若，则，与题设不符，故（B），（D）错误． 【专题：导数的定义】 【综合题】（95年，数学一/数学三） 设可导，，则是在处可导的． （C）必要条件但非充分条件． （D）既非充分条件又非必要条件． 【解析】因为 可见存在．故选（A）． 【综合题】（89年，数学三） 设在的某个邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是 （A）存在． （B）存在． （C）存在. （D）存在． 【解析】（A）不正确，存在， 只表明右导数存在；（B），（C）是存在的必要条件，但不是充分条件； 而，（D）是充分条件．故选（D）． 【综合题】（01年，数学一）设，则在点可导的充要条件为．存在． （B）存在． （C）存在． （D）存在． 【答案】（B）． 【解析】（A）选项，注意到，且．则 ． 存在，而不是存在的充分条件． （B）选项，注意到 ．存在的充要条件． （C）选项,注意到 ， 且，所以若存在，则由右边推知左边极限存在且为零．若左边极限存在，，故可能不存在． （D）选项，举反例 满足选项（D）极限存在，但在处不可导， ． 若存在，选项（D）极限存在，（D）选项是必要条件.故选（B）． 【综合题】（07年，数学一/数学二/数学三/数学四） 设函数在处连续，下列命题错误的是． （A）若存在，则． （B）若存在，则． （C）若存在，则存在． （D）若存在，则存在． 【解析】 （A）选项，由存在，于是，（A）正确． （B）选项，同上，故，（B）正确． （C）选项，由（A）知，有，故（C）正确． （D）不正确，举例，设，满足条件（存在），不存在． 【导数的几何意义】【曲线的切线斜率】【平面曲线的切线和法线】 设为曲线上的一点， 为曲线上邻域内任意点，当无限趋近时，若割线趋向于某一确定位置，割线的这一极限位置称为曲线在点处的切线．点的切线斜率为 　　　　　　　　　　 【例题】（08年，数学四） 已知函数连续，且，则曲线上对应处切线方程是 ． 【解析】由连续知，由可知，从而．再由可得，即，所以处的切线方程为，即，故切线方程． 【例题】（98年，数学三/数学四） 设周期函数在内可导，周期为．又，则曲线在点处的切线斜率为．．．．．． 于是．又，求导得，故． 即曲线在点处的切线斜率为．故选（D）． 【综合题】（02年，数学一） 已知两曲线与在点处的切线相同，写出此切线方程，并求极限． 【解析】由已知条件，.故所求切线方程为． ． 【综合题】（00年，数学二） 已知是周期为的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式 ， 其中是当时比高阶无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程． 【解析】 由，得，故．又因为　， 又因为，　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　． 所以　由于，所以 故所求的切线方程为即． 【基本初等函数的导数】 【导数公式及其部分推导】 【导数的四则运算】 【例题】（15年，数学一/数学三） （Ⅰ）设函数可导，利用导数定义证明； （Ⅱ）设函数可导，，写出的求导公式．，由导数定义知 ．． 【复合函数的导数】 【例题】（89年，数学三）已知，求． 【解析】． 【例题】（90年，数学三）设，则 ．