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§2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.1 正交矩阵 3. 反射矩阵(Householder变换) Householder矩阵有如下性质: (1) PT = P,即P是对称矩阵; (2) PPT =P2 =I –2wwT –2wwT + 4w(wTw)wT = I, 即P是正交阵 (3) 如图2-2,设w是R3上的一个单位向量,并设S为过原点且与w垂直的平面,则一切v∈Rn可以分解成v = v1 + v2, 其中v1∈ S, v2⊥S. 所以,Householder 变换又称镜面反射变换 Householder矩阵也称初等反射矩阵。 §2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.1 正交矩阵 3. 反射矩阵(Householder变换) 一个重要的应用是对x≠0, 求Householder矩阵P, 使得 Px = ke1. 由正交矩阵的性质可知||Px||2 = ||ke1||2 = ||x||2, 即k =±||x||2. 由上面所讨论的P的构造,有(令) u = x – ke1, w = u / ||u||2 设x = (x1, …, xn)T, 为了避免x – ke1计算时做减法 取k = – sign(x 1)||x||2, 则u = ( x 1+sign(x 1)||x||2, x 2, …, xn)T 从而P = I – ?uuT。其中? = (||u||22)–1 = (||x||2(|| x||2 + | x1|))-1 e1= (1, 0, …, 0)T ||w||2 = 1, 则P =I – 2wwT §2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.1 正交矩阵 3. 反射矩阵(Householder变换) 【例7】已知x = (3, 5, 1, 1)T, 求Householder矩阵P, 使得Px = – 6e1,其中||x||2 = 6. 解: 取k = –6, u = x – ke1 = (9, 5, 1, 1)T, ||u||2 = 108, ? = 1/54 则 §2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.2 QR分解 本节给出正交三角分解(又称QR分解)的存在性定理和唯一性定理 定理2.3.4 设A∈Rn?n, 则存在正交阵P,使得PA = R, 其中R为上三角阵. §2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.2 QR分解 定理2.3.4 设A∈Rn?n, 则存在正交阵P,使得PA = R, 其中R为上三角阵. 证明:首先考虑A的第一列a1=(a11, a21, …, an1)T, 可找到Householder矩阵P1, 使得P1a1的元素除了第1个以外都为0. 同理,找到P2使得P2P1A的第二列对角元以下元素为0,而第一列对角元以下元素与P1A一样是0. 依次这样下去,可以得到 Pn-1Pn-2…P1A = R, 其中R为上三角形矩阵,P = Pn-1Pn-2…P1为正交阵. 给出构造性证明 §2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.2 QR分解 定理2.3.4 设A∈Rn?n, 则存在正交阵P,使得PA = R, 其中R为上三角阵. 定理2.3.5 设A∈Rn?n,且A非奇异,则存在正交阵Q与上三角阵R,使得A有如下分解 A = QR 且当R的对角元均为正时,分解是唯一的. 该定理保证了A可分解为A = QR,若A非奇异,则R也非奇异. 如果不规定R的对角元为正,则分解不是唯一的. §2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.2 QR分解 【例8】用Householder变换作矩阵A的QR分解 解:找Householder矩阵P1∈R3?3, 使 则有 §2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.2 QR分解 【例8】用Householder变换作矩阵A的QR分解 解:再找 ∈R2?2, 使 (1.44949, 3.44949)T = (*,0)T,得 且 §2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.2 QR分解 【例8】用Householder变换作矩阵A的QR分解 解:这是一个下三角矩阵, 但对角元皆为负数. 只要令D = - I, R = - P2P1A就是对角元为正的上三角矩阵, 使得A = QR, 其中 §2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.2 QR分解 【例8】用Householder变换作矩阵A的QR分解 §2.3 QR分解和奇异值分解 2.3.2 QR分解 QR分解是计算特征值的有力工具,也是用于其它矩阵计算问题,包括解方程组Ax = b. 这只要令y = QTb, 再解上三角形组Rx = y. 这个计算过程是稳定的,也不必选主元,但是计算量比高斯消去法将近大一倍. §2.3
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