刘慧宏《金融数学基础》6优化理论基础.pptxVIP

第6章 优化理论基础清华大学出版社§6.1 基本概念1. 问题的提出 例1 某公司经营两种产品，第一种产品每件售价30元，第二种产品每件售价450元。根据统计，售出一件第一种产品所需要的服务时间平均是0.5小时，第二种产品是(2+0.25x2)小时，其中x2是第二种产品的售出数量。已知该公司在这段时间内的总服务时间为800小时，试决定使其营业额最大的营业计划。清华大学出版社设该公司计划经营第一种产品x1件，第二种产品x2件。根据题意，其营业额为由于服务时间的限制，该计划必须满足此外，这个问题还应满足得到本问题数学模型为：清华大学出版社2．非线性规划问题的数学模型非线性规划的数学模型常表示成以下形式其中自变量是n维欧氏空间中的向量(点)；为目标函数，和为约束条件。 清华大学出版社由于当需使目标函数极大化时，只需使其负值极小化即可。因而仅考虑目标函数极小化，这无损于一般性。若某约束条件是“≤”不等式时，仅需用“-1”乘该约束的两端，即可将这个约束变为“≥”的形式。由于等式约束等价于下述两个不等式约束：因而，也可将非线性规划的数学模型写成以下形式清华大学出版社3．非线性规划问题的图示 图示法可以给人以直观概念，当只有两个自变量时，非线性规划问题也可像线性规划那样用图示法来表示(如图6-1所示)。考虑非线性规划问题若令其目标函数其中c为某一常数，则(6-8)式代表目标函数值等于c的点的集合，它一般为一条曲线或一张曲面，通常称其为等值线或等值面。对于这个例子来说，若令目标函数(6-6)式分别等于2和4，就得到相应的两条圆形等值线(图6-1)。由图可见，等值线f(X)=2和约束条件直线AB 相切，切点D即为此问题的最优解：x1*=x2*=3，其目标函数值f(X*)=2。清华大学出版社在这个例子中，约束条件(6-7)式对最优解是有影响的。现若以代替约束条件(6-7)式，则非线性规划问题(6-6)式、(6-9)式的最优解是x1=x2=2，即图6-1中的C点(这时f(X)=0)。由于最优点位于可行域的内部，故对这个问题的最优解来说，约束(6-9)式事实上是不起作用的。在求这个问题的最优解时，可不考虑约束条件(6-9)式，就相当于没有这个约束一样。由第一章知道，如果线性规划问题的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到(特别是在可行域的顶点上达到)；而非线性规划问题的最优解(如果最优解存在)则可能在其可行域中的任意一点达到。图6-1清华大学出版社极值问题1．局部极值和全局极值 由于线性规划的目标函数为线性函数，可行域为凸集，因而求出的最优解就是在整个可行域上的全局最优解。非线性规划却不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点，但却并不一定是整个可行域上的全局最优解。清华大学出版社设f(X)为定义在n维欧式空间En的某一区域R上的n元函数，其中。对于，如果存在某个，使所有与的距离小于的(即且)均满足不等式，则称为在R上的局部极小点(或相对极小点)，为局部极小值。若对于所有且与的距离小于的，，则称为在R上的严格局格极小点，为严格局部极小值。 若点，而对于所有都有为，则称为全局极小值。若对于所有在R上的全局极小点，且，都有，则称为在R上的严格全局极小点，为严格全局极小值。清华大学出版社2．极值点存在的条件定理1 (必要条件)设R是n维欧式空间En上的某一开集，f(X)在R上有一阶连续偏导数，且在点取得局部极值，则必有或上式中为函数f(X)在点X*处的梯度。清华大学出版社定理2 (充分条件)设R是n维欧式空间En上的某一开集，f(X)在R上有二阶连续偏导数，有，若，且对任何非零向量则X*为f(X)的严格局部极小点。此处H(X*)为f(X)在点X*处的海赛(Hesse)矩阵：清华大学出版社凸函数和凹函数1. 什么是凸函数和凹函数设f(X) 为定义在n维欧式空间En中的某个凸集R上的函数，若对任何实数α（0 α1）以及R中的任意两点X(1)和X(2)，恒有则称f(X)为定义在R上的凸函数。若对任何实数α（0 α1）和则称f(X)为定义在R上的严格凸函数。清华大学出版社凸函数和凹函数的几何意义清华大学出版社凸函数的极值 前已指出，函数的局部极小值并不一定等于它的最小值，前者只不过反映了函数的局部性质。而最优化的目的，往往是要求函数在整个域中的最小值(或最大值)。为此，必须将所得的全部极小值进行比较(有时尚需考虑边界值)，以便从中选出最小者。然而，对于定义在凸集上的凸函数来说，则用不着进行这种麻烦的工作，它的极小值就等于其最小值。清华大学出版社凸规则考虑非线性规划假定其中f(X)为凸函数，gj(X)(j=1,2,…,l)为凹函数(或者说 ? gj(X)为凸函数)，这样的非线性规划称为凸规划。可以证明，上述凸规划的可行域为凸集，其局部最优解即为