(2010.06.14)几何基础辅导答疑(文本).doc

（2010.06.14）几何基础辅导答疑（文本） 张旭红：大家上午好！今天我们对《几何基础》内容进行辅导答疑，欢迎各位提问题。快到端午节了，提前祝大家节日快乐，身体健康，阖家幸福！ 期末复习注意几点 快到期末了，同学们要开始逐步复习以前学习的知识，复习时注意： 1、抓重点：按照《教学大纲》和《考核说明》，通读教材，理解和掌握重点教学内容； 2、多做练习：理解教材上的例题，独立完成习题。 熟练掌握向量方法解决平面几何问题和立体几何问题 第1章讲述的是向量方法，考核要求是了解向量的基本运算；熟练掌握向量方法解决平面几何问题和立体几何问题。 多做一些习题，如用向量的方法证明一些平面几何中常见的问题，如：证明三角形三条中线交于一点、证明三角形三条高线交于一点、证明三角形的中线平行于第三边且为第三边的一半，等等。 熟悉向量的基本运算 用向量方法证明问题，首先要熟悉向量的基本运算。 向量的基本运算，包括向量的加减、数乘、数量积、向量积；线性相关与线性无关。 向量的加减、数乘、数量积、向量积；线性相关与线性无关等基本运算，是用向量方法证明几何问题的基本工具。大家一定要熟悉。 了解仿射变换、 仿射平面的概念和性质 仿射变换一章要考核的知识点有：仿射平面、图形的仿射性质、仿射坐标系和2维向量、平面仿射等。 考核要求是知道仿射平面的概念；了解仿射平面的性质。 具体说，要了解图形的仿射性质，如图形在仿射变换下的变化，了解仿射不变量。 会求仿射变换式。 要掌握求仿射变换式的方法。 正方形在仿射变换下变成什么图形？ 大家想一想：是正方形？是矩形，还是平行四边形？乃至一般的四边形？到底是什么呢？ 如何掌握射影平面的教学内容？ 射影平面一章要考核的知识点有：无穷远元素；平面射影几何的基本特征；齐次坐标；笛沙格定理和平面对偶原则。考核要求是：了解无穷远元素，平面射影几何的基本特征；理解笛沙格透视定理、平面对偶原理。 理解笛沙格定理。 射影平面一章是很主要的一章，其内容较多，且都为重点内容。如无穷远点、无穷远直线、射影直线的基本性质等；再如中心射影的概念和性质；齐次坐标、直线坐标等；平面对偶原则。 这一章尤为重要的是笛沙格定理。利用这个定理，可以使很多平面几何中的复杂问题得以简单解决。 大家在做练习的时候，可以发现笛沙格定理化“繁”为“简”的神奇。具体例题参见教材和网上练习。 射影变换一章复习的重点 射影变换一章考核的知识点有：点列和线束；交比；透视对应；一维图形的射影几何；点列的射影对应。 射影对应考核要求 射影对应一章也是很重要的一章，无论是概念还是定理、方法，都是很重要的。要重点掌握的考核点有：了解点列和线束的交比的概念，熟练掌握其计算；知道透视对应、点列的射影对应；了解一维图形的射影性质；理解Pappus定理、笛沙格第二定理。 射影对应的例子参见教材及网上辅导。 二次曲线的复习要求 二次曲线一章重点掌握：二次曲线的代数定义和射影定义；二阶曲线的极点、极线；二次曲线的仿射性质（中心、直径）、渐近线；熟练掌握中心、直径、渐近线、极线、切线等的计算。 公理化方法与几何体系 第6章公理化方法与几何体系考核要求：知道公理化方法、公理化体系的相容性、独立性和完备性；了解希尔伯特公理体系。 利用笛沙格定理证明题举例 在欧氏平面上,△的高线为,,,另外,与交于,与交于,与交于.求证: 三点,,共线． 证明　如图, △中, 三高线，，共点, 以为透视心，由△和△, 根据笛沙格定理, 必有透视轴, 即对应边和交于,和交于,和交于, 、、共线. 利用向量方法证明举例 利用向量方法证明三角形三条中线交于一点． 证明　在三角形（见图）中，取 为坐标原点，并设a?，b?．设，交 于，，，，为待定数． 注意 ab?， b(a－b)?， 以及　　　　　　　， 于是　　　　a ba－b－－ ab， 整理得 　　　　　　　　ab． 因为a，b线性无关，所以 　　　　　　　　　　　， 　　　　　　　　　　　　， 解得．这说明交点分为和，并且:２:１．若设与的交点为，由上面的证明可知，分为和，并且∶２∶１，所以，是同一点．于是三条中线交于一点，并且分每一中线为１∶２． 求二次曲线极线举例 求点关于 二阶曲线的极线． 解　将点的坐标及的值代入极线方程 即　　　　　　 整理即得所求极线方程 　　　　　　　　　　　　　． 王娟娟：二次曲线是经典解析几何和代数几何研究的核心内容之一，具有丰富的研究内容、精美的研究结论和系统的研究方法，对几何学和代数学的后续发展具有基础性的作用。课题《二次曲线极点极线的相关性研究》是对圆锥曲线理论的研究。该课题组借助几何画板深入系统地研究了二次曲线极点与极线的相关性，得出一系列命题，统一了二次曲线的焦点、准线、切线、切点弦、焦点弦、定点弦等相关问题，揭示了圆锥曲线新