2.4.2《抛物线的简单几何性质》.ppt

2.4.2 抛物线的简单几何性质 * * 1、抛物线y2=2px(p0)的范围: y取全体实数 x y X ? 0 抛物线的几何性质： 2、抛物线的对称性 关于x轴对称 没有对称中心，因此，抛物线又叫做无心圆锥曲线;而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线 X Y 定义 ： 抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点. X Y 3、抛物线的顶点 只有一个顶点即坐标原点。 所有的抛物线的离心率都是1。 X Y 4、抛物线的离心率 定义： 抛物线上的点M到焦点和 它到准线的距离之比， 叫做抛物线的离心率。 5.通径 通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 x O y F P 通径的长度：2P 思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？ 小结：抛物线的性质 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔 例题讲解： 例1. （１）顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求出它的标准方程。 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m ≠0)(x2=my (m≠0)),可避免讨论。 （２）抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 ９ｘ２＋４ｙ２＝３６短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为３，求抛物线的标准方程。 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. y2 = 4x 设AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦。 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0), 过A,B,M分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则 y F A(x1,y1) O B(x2,y2) M A1 B1 M1 6、焦点弦问题 A(x1,y1) (1)|AB|＝x1+x2+p (2)x1x2= ,y1y2= - p2 X y F O B(x2,y2) M A1 B1 M1 y2=2px(p0) y F A(x1,y1) O B(x2,y2) M A1 B1 M1 (5)证明:以AB为直径的圆与准线相切 y2=2px(p0) N 例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴. x O y F A B D