中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第1讲)有理数的巧算.doc

第一讲?有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用　　 　　1 计算： 　　　　 　　+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化． 　　　 　　　 　　　　2 计算下式的值： 　　211555+445×789+555×789+211×445． 　　 　　=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) 　　　　 　=211(555+445)+(445+555)×789 　　　　 　=2111000+1000×789 　　　　 　=1000(211+789) 　　　　 　=1 000 000 　　 　　3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 　　1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 　　 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 　　n的奇偶性进行讨论： 　　n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 　 　　n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有 　 　　4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 　　1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 　　n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0． 　　1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 　　1． 　　 　　2 　　(100+2)×(100-2)的值： (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22． 　　a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2． 　　于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， ① 　　这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 　　5 计算 3001×2999的值． 　　 3001×2999=(3000+1)(3000-1) =30002-12=8 999 999． 　　6 计算 103×97×10 009的值． 　　=(100+3)(100-3)(10000+9) =(1002-9)(1002+9) =1004-92=99 999 919． 　　7 计算： 　 　　12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1， 　　1，所以原式=24 690． 　　8 计算： (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)． 　　2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了． 　　=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1) 　　 　　　=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) 　　　　　 =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= 　　　　 　=(232-1)(232+1) 　　　　　 =264-1 　　9 计算： 　 　　(a+b)(a-b)=a2-b2． 　　这个公式也可以反着使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)． 　　本题就是一个例子． 　　 　　 　　通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化． 　　10 计算： 　 　　 　　　 我们用一个字母表示它以简化计算．