大学概率论学习PPT4.ppt

4.1 数学期望 例：已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 设连续型r.v.X的概率密度为f(x)， 若积分 收敛，则称积分 的值为r.v.X的数学期望，记为E(X)，即 P94 例4.8 把n只球放进N只盒子，假设每只球落入各盒子是等可能的，试求有球的盒子数X的数学期望。 分析：引进r.v.Xi 现在，X= ，且Xi?B(1,pi)，pi=P{Xi=1}，i=1,2,…,N. 现在，X= ，且Xi?B(1,pi)，pi=P{Xi=1}，i=1,2,…,N. 要求pi=P{Xi=1}，即要第i个盒子中有球的概率，因为第i个盒子有球是指“第i个盒子中有1球、有2球、…、有n球”，这样求较难。下面采用“对立事件”来求： 现在，X= ，且Xi?B(1,pi)，pi=P{Xi=1}，i=1,2,…,N. 要求pi=P{Xi=1}，即要第i个盒子中有球的概率，因为第i个盒子有球是指“第i个盒子中有1球、有2球、…、有n球”，这样求较难。下面采用“对立事件”来求： 设Ak=第k球未落入第i个盒子，k=1,2,…,n，则P(Ak)= ，P(Xi=0)=P{A1A2…An}= 则P(Xi=1)=1-P(Xi=0)= ，则 Note: 在该例中，?X={1,2,…,n}，如果用概率函数求期望，会涉及到既难又繁的古典概率计算，类似的例子很多，如电梯停靠的平均楼层数、旅游车平均停车的次数等。 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用“随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和”来求数学期望的,此方法具有一定的意义 二、方差(Variance ) 在实际工作中，只知道均值(数学期望)还不够，还需要研究它围绕均值的波动情况，即研究r.v.与其均值的偏离程度。用此来考核r.v.取值的稳定性。 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 方差定义 设有r.v.X，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X)，即 D(X)= E{[X-E(X)]2} 方差的算术平方根 称为X的标准差或均方差，记为?(X），它与X具有相同的量纲。 补充例题 设随机变量X的概率分布为: k=0,1,2,…，则EX2= 。 4.3 协方差及相关系数 (Covariance and Correlation Coefficient ) 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），期望和方差只是反映了X、Y各自的平均取值与各自相对于其均值的偏离程度，没有反映出X与Y之间的相互联系。发现E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}这个量在一定程度上反映了X与Y之间的联系，值得讨论！ 1. 协方差(Covariance) 定义：量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为r.v.X和r.v.Y的协方差，记为Cov(X,Y)，即 Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 按照方差的定义，Cov(X,X)=D(X). 可见,协方差本质是二维随机变量函数 g(X,Y)=[X-E(X)][Y-E(Y)]的数学期望 协方差的计算： Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 协方差的性质 P100 设 k,l,c 是常数 cov(X,Y)= Cov(Y,X) Cov(X,c)=0; (3) cov(kX,lY) = kl Cov(X,Y); (4) cov(X1+X2,Y1+Y2)= Cov(X1,Y1) + Cov(X2,Y1) + Cov(X1,Y2) + Cov(X2,Y2) 2. 相关系数(Correlation Coefficient) ?XY和协方差都是X和Y之间相互关系一一种度量，但是协方差是一个绝对数值，有单位(其单位