必修五数学等差数列知识点精讲.doc

等差数列 一、创设情景，揭示课题，研探新知 1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。 2.等差数列的性质： 已知数列{}是等差数列，则 （1）对任意，，，； （2）若，，，且，则 （3）等差数列前项和公式：或 注意：①等差数列前项和公式又可化成式子：，当，此式可看作二次项系数为，一次项系数为，常数项为零的二次式；②当时，有最小值；当时，有最大值；③图象：抛物线上的一群独立点。 （4）利用与的关系： 二、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 在等差数列中，，，求？ 解法一：设该等差数列首项，公差，则，所以，． 解法二：在等差数列中，, －, －, ……, －, －, 成等差数列， ∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10＋·D＝＝10, 解得D＝－22 ∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110. 拓展练习1：在等差数列中，，，则． 拓展练习2：已知数列是等差数列，是其前项和，若，，求 拓展练习3：已知等差数列前项和为，前项和为，求前项的和。（介绍依次项成等差） 例2 已知等差数列的项数为奇数，且奇数的和为，偶数项的和为，求此数列的中间项及项数。 解：设项数为，奇数项和记为奇，偶数项和记为偶，由题意， 奇 ① 偶 ② ①②得，，解得，∴ 项数为7项，又奇 ，∴ ，即中间项为． 说明：设数列是等差数列，且公差为， （1）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶；② ； （2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②． 例3 在等差数列中，，，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？ （3）求前项和？中，公差为，由题意得： （1）设第项开始为负，，， 所以从第项开始为负。 （2）（法一）设前项和为，则， 所以，当时，前17项和最大。 （法二），则，，所以． （3）， ∴， 当时，， 当时，， 所以，． 说明：（1），时，有最大值；，时，有最小值； （2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）； ②若已知，则最值时的值（）可如下确定或． 例4 已知数列的前项和为（1）；（2），求数列的通项公式。 例5（教材例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m）? 解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。 由内向外各圈的半径分别为 因此各圈的周长分别为 ∵各圈半径组成首项为，公差为的等差数列，设圈数为，则 ， ∴ ∴各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为40的等差数列， 答：满盘时卫生纸的总长度约是100米．说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。 例6 （教材例6）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象是在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为‰． （1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？ （2）零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）？ 说明：教育储蓄可选择1年、3年、6年这三种存期，起存金额50元，存款总额不超过2万元。 解：（1）设每月存入元，则有‰）‰）‰） 由等差数列的求和公式，得：‰‰） 解得：（元） （2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，∴3年期教育储蓄每月至多可存入（元），这样3年后的本息和为 ‰）‰）‰） ‰‰）（元）。 答：欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入535元。3年期教育储蓄每月至多存入555元，此时3年后本息合计约20756元。 四、巩固深化，反馈矫正 1.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.（注意讨论的一般结论） 五、归纳整理，整体认识 让学生总结本节课的内容 六、承上启下，留下悬念 补充：1．数列是首项为23，公差为整数的AP数列，且，， （1）求公差；（2）设前项和为，求的最大值；（3）当为正数时，求的最大值。 1、设数列的通项公式为，则（ ） A、153 B、210 C、135 D、120 2、已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ） A、1 B、 C、 D、 3.若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是（ ） A