第六节反常积分.ppt

一、无穷限的反常积分 例8. 计算反常积分 二、无界函数的反常积分 定义2. 设 说明: 注意: 若瑕点 * 第五节 反常积分 我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 函数的积分. 在科学技术和工程中，往往需要计 算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广. 我们将运用极限的方法来完成这个工作. 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 —— 无穷区间上的广义积分 1. 无穷积分的概念 例1 解 能否将这里的书 写方式简化？ 这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了. 引入记号 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 例2 解 例3 解 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 例5 解 例6 解 综上所述， 2. 无穷积分的基本运算性质 其它类型的无穷积分的情形类似于此. 例7 解 罗 解: 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作 则定义 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 而在点 c 的 无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 邻域内无界 , 为瑕点(奇点) . 例如, 间断点, 而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义 的计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 2. 瑕积分基本运算性质 例8 解 例9 解 有问题没有？ 例9 解 例10 解 例11 解 不存在 例12 解 综上所述，得 *