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第十节 反函数 1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明 互为反函数的两个函数有什么关系： 函数与的图象关于直线对称. 反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 2．函数、、、间的关系： 与、与互为反函数； 与、与为同一函数 （一）反函数的存在条件 1、给出下列几个函数：①；② ③ ④ ⑤ 2．其中不存在反函数的函数序号是 　　　　　 A．y =3 + B．y = C．y = D．y= （二）求反函数的方法 1．（1）；（2）f（x）=－x2（x∈（－∞，－2］） （3）； 2.（1）y=－（x≠－1） （2） （3） 3．（1）f（x）=－（x≥－） （2）. y=+1（x≥1） 4．（1） （2） （3） （(1≤ x 0） 5．y=(x≥0，x≠1) 答案：= [(x-1)/(x+1)]（x-1或x≥1）； 8（1）y== 答案：=. （2）f（x）= （三）反函数的性质及应用 1（1）若函数f(x)存在反函数f－1(x)，则f－1(f(x))=____ ； f(f－1(x))=______. （2）设点(a，b)在函数y=f(x)的图象上，那么y= f－1(x)的图象上一定有点（ ） A．(a, f －1(a) ) B．(f －1(b)，b) C．( f －1(a)，a) D．(b, f －1(b)) （3）设，则 （A）　 （B） （C） 　　（Ｄ） （4）若函数f（x）=，则f－1（）=___________. （9）若点（4，3）既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式 （13）定义在R上的函数F(x)=f(x)+b(b(R)存在反函数F(1(x),若点(m,n)在y=f(x)的图象上，则(　D　) A点(n,m)在F(1(x)的图象上 B点(n(b,m)在F(1(x)的图象上 C 点(m(b,n)在F(1(x)的图象上 D 点(n+b,m)在F(1(x)的图象上 （15）若f(x－1)= x2－2x+3 (x≤1)，则f－1(4)等于（ ） A． B．1－ C．－ D．－2 （16）已知函数的图象过点（0，1），则函数的反函数的图象必过定点（ ） A、（1，－4）　　　B、（1，4）　　　C、（1，0） 　　D、（4，1）　　　 （17）设函数，又函数与的图象关于对称，求的值 解法一：由得，∴，， ∴与互为反函数，由，得 解法二：由得，∴， ∴ 2（1）已知函数的图象关于直线对称,那么 . （2）已知函数的反函数就是它本身，那么____ 3．若函数是函数的反函数，则的图象为 （ ） A B C D 4．函数y=f(x)的图象与直线y=x有一个交点，则y=f-1(x)与y=x的交点个数为( ) B (A)O个 (B)1个 (C)2个 (D)不确定 5．设，则 （A）在（上是增函数 （B）在（上是减函数 （C）在（上是减函数　　　　　（Ｄ）在（上是增函数 6．若函数的图象经过第三、四象限，且存在反函数，则函数的图象经过 （A）第一、二象限　（B） 第二、三象限 （C）第三、四象限　（Ｄ） 第一、四象限 课后练习 1．函数y=（x∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为____________. 答案：（0，0），（1，1） 3．关于反函数给出下述命题： ① 若为奇函数，则一定有反函数. ② 函数有反函数的充要条件是是单调函数. ③ 若的反函数是，则函数一定有反函数，且它的反函数是 ④ 设函数的反函数为，若点P（a，b）在的图象上，则点一定在的图象上. ⑤若两个函数的图象关于直线对称，则这两个函数一定互为反函数. 则其中错误的命题是 5．已知函数=1+有反函数，且点(a,b)在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求a,b的值. 解：∵点(a,b)在函数的图象上，∴b=1+---①, 又点(a,b)在其反函数的图象上， ∴点(b,a)在原函数的图象上， ∴有a=1+---②，联立①②解得a=b=2. 6．若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求a,b的值. 解：