直角三角形的讨论.doc

二次函数中直角三角形的讨论 常见解题思路：（1）分类讨论：按直角顶点进行讨论（2）勾股定理（3）相似三角形 例题：如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E(4,m)两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0). ⑴求该抛物线的解析式； ⑵设动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标.. 解： 解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得 解得 ∴抛物线的解折式为………2分 （2）∵点E(4,m)在直线上 ∴ ∴E的坐标为（4，3）……………………………………3分 （Ⅰ）当A为直角顶点时，过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0） 易知D点坐标为（－2，0） 由Rt△AOD∽Rt△POA得 i即，∴a＝ ∴P1（，0）…………………………………4分 （Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0） …………………………5分 （Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°， 得∠OPA＝∠FEP ∴ Rt△AOP∽Rt△PFE ∴ 得，解得，. ∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）………………………………………7分 所以满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）.(不写不扣分) 练习题 1.如图，已知二次函数y=ax2+2x+3的图象与x轴交于点A、点B（点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数关系式为y=kx+3，又tan∠OBC＝1． （1）求a，k的值． （2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与B、C不重合），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.(2010年崇文二模)24．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A、B的坐标分别为和，连结． （1）现将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，（点A落到点C处），请画出，并求经过、、三点的抛物线对应的函数关系式； （2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点的对应点为点，平移后的抛物线与原抛物线相交于点．为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连结，当取得最大值时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴上运动时，是否存在点使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果???存在，请说明理由． 3.（2010年朝阳一模）24． 已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形； （3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由． 4.（2010年丰台一模）25． 已知抛物线． 　（1）求抛物线顶点M的坐标； 　（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； 　（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 练习题答案 1.（1），； （2）二次函数的图象上存在点或，使是以为一条直角边的直角三角形． 2.（2010年崇文二模）24． 解：（1） 若 则解得 若 则解得 若 则解得 综上所述，存在点使为直角三角形，，， 3.（2010年朝阳一模）24．（本小题7分） 解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A（4，0）， ∴ 0 = 4k -3，解得k=． ∴ 直线的解析式为 y=x-3． ………………………………………………………………1分 由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C(0,-3) ． ∵ 抛物线经过点A(4,0)和点C, ∴ ，解得 m=． ∴ 抛物线解析式为 ……………2分 （2）对于抛物线， 令y=0，则，解得x1=1，x2=4． ∴ B(1，0). ∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t. ① 若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC（如图1）， ∴ △AP1Q1∽△AOC. ∴ , ∴．解得t= ； ………………………………………………3分 ② 若∠P2Q2A=90