《高等数学A（二）》2chapter5（3）Green公式及应用.pptVIP

* Chapter 5(3) Green公式及应用 教学要求： 1. 掌握Green公式; 2. 会运用平面曲线积分与路径无关的条件; 3. 会求全微分的原函数; Green公式叙述了曲线积分与二重积分的关系. 1. 单连通区域 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 单连通区域——不含有“洞”或“点洞”; 复连通区域——含有“洞”或“点洞”; 2. D的边界曲线L的正向规定 当观察者沿 L 的正向行走时, 区域 D 内离他近处的那 一部分总在他的左边. D D 3. Green公式 定理 Proof. 根据D的不同形状, 分三种情况进行讨论. y x o a b D c d A B C E 同理可证 两式相加得 D G D F C E A B 由(2)知 注意: (1)便于记忆形式: (2)当边界曲线取反方向时,Green公式中二重积分符号 前添“?”号! (3)应用Green公式条件缺一不可. 3. Green公式的简单应用 (1) 简化曲线积分 Solution. 如图所示 作辅助线GE:y=0,运用Green公式, Solution. Solution. x y o L y x o L y x o L x y o L 符合Green公式的条件. 在D1上符合Green公式的条件. 注意: (2) 简化二重积分 Solution. x y o (3) 计算平面面积 1. 曲线积分与路径无关的定义 G y x o B A 如果在区域G内有 2. 与路径无关的四个等价关系 定理: Proof. 如图所示 由Green公式得