《高等数学A（二）》2chapter5（7）Stokes公式.pptVIP

* Chapter 5(7) Stokes公式 教学要求： 1. 了解Stokes公式; 2. 了解空间曲线积分与路径无关的几个等价关系. 曲面的侧与边界曲线的方向作如下规定(右手法则): 当右手四指依?的绕行方向时，大拇指所指的方向与 ?上法向量的指向相同，这时称?是有向曲面?的正向 边界曲线. 定理1. 其中?的侧与?的方向按右手法则确定. Proof. 思路: 曲面积分 二重积分 曲线积分 1 2 (1)设平行于坐标轴的直线与∑的交点不多于一个，则 设当∑为z=z(x,y)上侧,在 xoy面上投影区域为Dxy, Г在xoy面上的投影曲线 为C时, 如图所示. o x y z 三式相加 即得结论. (2)若平行于坐标轴的直线与∑的交点 多于一个时，作辅助线可得结论成立. 注意: (1) 便于记忆, Stokes公式可用行列式表示为 (2) 利用两类曲面积分的关系, 得Stokes公式的另一形式 (3) Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. Stokes公式 Green公式 特殊情形 也称Stokes公式为空间的Green公式. (5) Stokes公式理论上很重要, 用它来计算曲线积分并不很方便. Solution. 如图所示 o x y z 注意: (1) 截面圆的半径为 o x y z (2) 选用两种类型的曲面积分都可以，就本题来说， 积分号下出现常数，故选对面积的曲面积分为宜. (3) 积分曲面∑是选平面还是选球面被平面割下的那一 部分，从理论上讲，都是可以的，以计算简单为宜. (4) 再次体现Stokes公式计算曲线积分并不方便. (5) 也可化为参数方程直接计算. Solution. 若从x轴正向看去，这椭圆是取逆时针方向. Solution. 如图所示 o x y z 或者 若从z轴正向看去，取逆时针方向. Solution. 如图所示