《平面向量的数量积》优质课比赛课件.ppt

F s ? ┓ F s ? ┓ W=|F||s|cos? O A B b a ? 功： 1.概 念: (1)夹角: ?. (2)数量积: a · b =| a || b |cos ?. 已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为? ，把数量|a| · |b|cos?叫做a与b 的数量积.（或内积） 记作：a · b. O A a B b ? a b 注意： “ · ”不能省略不写，也不能写为“×”，数学中“ a × b”表示两个向量的向量积(或外积). a · b表示数量而不表示向量，与实数a · b不 同, a+b 、 a-b表示向量. 规定: 0 · a=0. 数量积: a · b =| a || b |cos? 2. 几 何 意 义: 数量积 a · b 等于a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos ?的乘积. A O A O B | b |cos ?= ??b? | b |cos ??0 | b |cos ??0 | b |cos ???b? | b |cos ??0 O A a B b θ O A a B b θ O A a B b θ 数量积: a · b =| a || b |cos? B1 B1 B (3)当a与b同向时,a · b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b| 特别地,a · a =a 2=| a |2或| a |=√a · a . 3.性 质: 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，?是a与e的夹角,则 (1) e · a a · e | a |cos?. ?| a || b |cos?=0 ? a · b =0 向量 a与b共线 ? | a · b |=| a || b | a · b =| a || b |cos? (2)a⊥b? a · b =0. (5)| a · b |≤| a || b |. = = (4)cos?= . |a| |b| a · b a⊥b??= ?cos?=0 ? 2 例1.辨析题: 1.若a≠ 0,且 a · b=a · c,则b=c. 2.(a · b) c=a (b · c).. 3.若a2+b2=0,则a=b=0. 4.若 |a · b|≥ |a| · |b|， 则a∥b. 向量的数量积不满足结合律 已知|a|=5,|b|=4, a和b的夹角为60°,求a·b. a · b=|a|·|b|cos ? 变式练习：若θ=120 °呢？ θ=90°呢？ a⊥b呢？ a∥b呢？ =5×4×cos60° =10. 设|a|=12,|b|=9, a·b=-54√2 求a和b的夹角. cos? = a · b |a|·|b| = ， - 54 √2 12×9 -√2 ∴ ?=135°. = ， 2 cos? 变式练习： 若a·b=108√2 呢？ 四、平面向量数量积的运算律: 向量 和实数 ，则向量的数量积满足： （2） （3） （1） 交换律: 数乘结合律: 分配律: P.77练习1，2，3 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b 0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角形？ 当a · b=0时，为直角三角形. 当a · b＜0时， cos?0，为钝角三角形； 公式变形 对功W=|F||s|cos?结构分析 抽 象 特殊化 五条重要性质 数形 结合 几何 意义 平面向量数量积的定义a · b=| a | | b | cos ? → → 三条运算律 五、作 业 1.书P.81 1~5. 2.思考题:你能用平面向量的数量积来表示三角形的面积吗? C A B a b