全等三角形 知识梳理[精品].doc

全等三角形 知识梳理 一、知识网络 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 三、典例赏析 例1、如图： AD//BC,AB//CD你能找出其中的全等三角形吗？说明你的理由。 解析：由AB//CD可得， 由AD//BC可得， ，可得：≌， 点评：通过间接条件得到直接条件，是解决问题时经常遇到的，目的是考查对知识的综合运用。 你会做吗？ 变式1：改AD//BC,AB//CD为又如何？能得到一样的结论吗？ 变式2：若将“AD//BC,AB//CD”改为AD//BC，能得到一样的结论吗？ 例2、如图，平分 于于，求证： 证明：因为平分 所以， 因为 所以≌ 所以， 即是的平分线。 因为 所以（角平分线上的点到角边的距离相等） 点评：本题主要应用了全等三角形的有关知识和角平分线性质，解决本题的关键是把要证明相等的两条线段看作一个平分线上的点到该角两边的距离。 怎样添加辅助线 作辅助线时应考虑以下几个方面： 　　（1）充分利用条件，体现条件集中的原则，充分揭示题目中的各个条件间的不明显的关系； 　　（2）恰当转化条件； 　　（3）恰当转化结论． 　　下面举例说明． 　　例　如图1，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC． 　　分析1： 因为∠B=2∠C，所以AC＞AB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，构造△ABD≌△AED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC．即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC． 　　证明：在AC上取一点E，使得AB=AE，连结DE． 　　在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠DAE，AD=AD， 　　∴△ABD≌△AED（SAS）． 　　∴ BD=DE，∠B=∠AED． 　　又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C， 　　∴ ∠EDC=∠C． 　　∴ ED=EC． 　　∴ AB+BD=AC． 　　分析2： 因为∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造△AED≌△ACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC．即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE． 　　证明：在AB的延长线上取一点E，使得AC=AE，连结DE． 在△AED和△ACD中，AE=AC，∠BAD=∠DAC，AD=AD， 　　∴ △AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E． 　　又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE， 　　∴ ∠E=∠BDE．∴ BE=BD． 　　∴ AB+BD=ＡE＝AC． 　　分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可． 　　证明：延长DB到点E，使得AB=BE，连结AE，则有∠EAB=∠E， ∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E． 　　又∠ABC=2∠C， ∴ ∠E＝∠C． ∴ AE=AC． 　　又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE，∴ AE=DE． 　　∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC． 　　评注：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条（或几条）线段转化到同一直线上．上述前两种方法实际上是通过翻折构造全等三角形,