四年级奥数第二讲 图形的计数问题含答案[精品].doc

第二讲 图形的计数问题 一、知识点： 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯． 二、典例剖析： 例（1） 数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 　 　4＋3＋2＋1＝10（个） 　　解： 4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 练一练： 数一数右图中总共有多少个角？ 答案: 总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个） 　　例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是： 　　（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）. 　　②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共： 　　（4+3+2+1）×3=10×3=30（个） 　解：：①在△ABC中共有线段是： 　　（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条） 　　 ②在△ABC中共有三角形是： 　　（4+3+2+1）×3=10×3=30（个） 答： 在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。 练一练： 共有多少个三角形？ 答案: 18 例（3）数一数图中长方形的个数 分析： AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15. 　　BC边上分成的线段有： 3+2+1=6. 解： 共有长方形： 　　（5+4+3+2+1）×（3+2+1）= 15×6 = 90（个） 　 答：共有长方形90个。 练一练： 数一数图中长方形的个数 答案: 90 　　例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形） . 　分析： 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形. 　　①以一条基本线段为边的正方形个数共有： 　　 6×5=30（个）. 　　②以二条基本线段为边的正方形个数共有： 　　 5×4=20（个）. 　　③以三条基本线段为边的正方形个数共有： 　　 4×3=12（个）. 　　④以四条基本线段为边的正方形个数共有： 　　 3×2=6（个）. 　　⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有： 　　 2×1=2（个）. 解： 正方形总数为： 　　 6×5+5×4+4×3+3×2+2×1 　　=30+20+12+6+2=70（个） 答： 练一练： 下图共有几个正方形? 答案: 10 例（5）数一数图中三角形的个数 分析： 这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始. 　　Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形： 　　①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为： 　　W①上=1+2+3+4=10（个）. 　　②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为： 　　W①下=1+2+3=6（个）. 　　Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形： 　　①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为： 　　W②上=1+2+3=6（个）. 　　②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）. 　　Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形： 　　①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为： 　　W③上=1+2=3（个）. 　　②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）. 　　Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为： 　　W④上=1（个）. 解： 所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）. 答：三角形的总数是个。 练一练： 数一数图