数值计算方法第08章非线性方程及非线性方程组解法[精品].ppt

* function f=funs(x) f=(x(1)+2*x(2)-3).^2+(2*x(1).*x(1)+x(2).*x(2)-5).^2; options(2)=1e-8 fmins(funs,[1.5,1.0],options) ans = 1.48803386959611 0.75598307081607 最优化方法求解非线性方程组 例 求解非线性方程组 解 给定初值 x(0)=(1.5, 1.0)T. * * * * * * * * * * ? 弦截法(割线法, 线性插值法) ? Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ?，相当于2个函数值，比较费时. 现用 f 的值近似 f ?，可少算一个函数值. ? 在Newton迭代法中用差商 代替导数 得到迭代公式 弦截法 ? 须两个初始点x0, x1, 通常可取有根区间的两个端点. * Secant Method * x0 x1 切线 /* tangent line */ 割线 /* secant line */ 切线斜率　?　割线斜率 * 过曲线上两点 的直线为 它与x轴的交点为 以割线近似曲线，故弦截法又称为割线法. * 设 f (x)在 x*邻近二阶连续可导，且 f (x*)=0, f ?(x*)?0, 则存在? 0，当x0 , x1?[ x*? ?，x*+ ? ]时，由弦截法产生的数列{xn}收敛于x*, 且收敛阶为1.618. (方程 的正根) 定理 * 例 用弦截法求下列方程的根. 解 因为 f (1.5)0, f (2)0, [1.5, 2]为有根区间. 取 按弦截法计算公式求, 结果如下 ? 此计算结果表明, 迭代5次所得近似解精确到8位有效数字. 它的收敛速度比Newton法慢. * §4 抛物线法(Müller法） 基本思想: 过 作一抛物线 P2(x), 该抛物线与x轴的一个交点 xn+1作为根x*的下一个近似. * Secant and Muller’s Method * Muller’s Method y(x) x Secant line x1 Fit a parabola (quadratic) to exact curve x2 x3 Parabola 抛物线插值 * 过 或 其中 的抛物线 P2(x) * 该抛物线与x轴的交点为， 在xn , xn?1 , xn?2三个近似根中, 自然假定xn更接近所求的根x*, 这时为了保证精度，选上式中较接近xn的一个值作为新的近似根. 为此，只要取根式前的符号与 bn的符号相同, 即 抛物线法 Müller法 二次插值法 * Muller’s Method y(x) x x1 Two roots for quadratic function – pick the one closest to the previous estimate x2 x3 Two Roots * 例 用抛物线法求下列方程的根. 解：取 x0=1.5, x1=1.75, x2=2.0, 则 按抛物线法计算公式 * ? 在一定条件下可以证明, 对于抛物线法, 收敛阶为 p=1.840 (是方程 x3－x2－x－1=0的根), 收敛速度比弦截法快但比Newton法慢. ? 从抛物线法的计算公式可以看出，即使xn , xn?1 , xn?2均为实数，xn+1也可以是复数，所以抛物线法可适用于求多项式的实根和复根. * 用下列方法求 在 附近的根。根的准确值 ，要求计算结果准确到四位有效数字。 1）用牛顿法； 2）用弦截法，取 ； 3）用抛物线法，取 * [解]1） ， ， ， ，迭代停止。 * 2） ， ， ， ，迭代停止。 * 3） ，其中 ， ，故 ， ， ， ， ， ， ， ，下略。 * §5 解非线性方程组的牛顿迭代法 考虑方程组 其中f1 , f2 , …, fn均为(x1, x2, ..., xn)的n元函数. 当n1，且 fi ( i=1, 2, …, n)中至少有一个是自变量xi (i=1, 2, …, n)的非线性函数时, 则称方程组为非线性方程组. * ? 非线性方程组的求根问题是前