数学与应用数学毕业论文(设计)-一元函数极限的求法[精品].doc

编号： 南阳师范学院20届毕业生 毕业论文（设计） 题 目： 完 成 人： 班 级： 学 制： 专 业： 指导教师： 完成日期： 目 录 摘要 （1） 0 引言 （1） 1利用初等函数的连续性求函数极限（直接代入法） （1） 1.1连续的性质 （1） 2利用函数极限的四则运算求函数极限 （2） 2.1直接运用法则 （2） 2.2间接运用法则——利用恒等变形化简表达式，然后再用四则运算 （2） 2.2.1约分法 （2） 2.2.2通分法 （3） 2.2.3根式有理化法 （3） 2.2.4分子分母同除以无穷大量或根据结论求之 （3） 3利用迫敛性求函数极限 （4） 4利用两个重要极限公式求函数极限 （4） 5利用无穷小量的性质求函数极限 （5） 6利用替换法函数极限 （6） 6.1变量替换 （7） 6.2等价无穷小量替换 （7） 6.2.1定理 （7） 6.2.2常见的等价无穷小量 （7） 6.3泰勒公式的等价量代换——麦克劳林展式 （8） 7利用洛必达法则求函数极限 （1） 7.1定理 （9） 7.2对于型或型直接使用法则 （10） 8利用对数运算求函数极限 （1） 9利用极限的定义验证极限 （1） 9.1极限的“”定义 （5） 10利用导数的定义求函数极限 （1） 10.1导数的定义 （5） 11利用左右极限法求函数极限 （1） 12利用定积分的定义求函数极限 （1） 13利用级数收敛的必要条件求函数极限 （15） 13.1级数收敛的必要条件 （15） 14利用微分中值定理和积分中值定理求函数极限 （15） 14.1拉格朗日中值定理 （15） 14.2积分中值定理 (16） 15 总结 （17） 参考文献 （17） Abstract （18）  一元函数极限的求法 作 者： 指导教师： 摘要：本文对一元函数极限的常见求法进行了归纳总结，并在某些具体求解方法就其中要注意的细节和技巧做了说明，以便我们了解函数的各种极限，以及对各类函数极限进行计算. 关键词：一元函数；极限；求法 0引言 一元函数极限的计算是“高等数学”基本计算之一。为了能熟练准确地计算各种极限，就必须掌握其各种极限的求法，解题时要针对不同函数极限的特点采用相应的求法，同时还要注意每种求解方法的适应范围，这样才能达到事半功倍的效果。. 1 利用初等函数的连续性求函数极限（直接代入法） 1.1 连续的性质[8] 如果是初等函数的定义区间内一点，则， 如果点是初等函数的可去间断点，那么由复合函数连续性可知： 例 1 求 解：= 例 2 求 解：因为是可去间断点 所以 2 利用函数极限的四则运算法求函数极限 极限四则运算法则的条件是充分非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则的条件，满足条件者，方能利用极限四则运算法则求之；不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需要将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。 为了叙述方便把自变量的某个变化过程略去不写，用记号表示在某个极限过程中的极限，因此，极限的四则运算法则可确切地叙述如下： 定理1 在同一变化过程中，设，都存在 则（1） （2） （3）当分母时，有 2.1 直接运用法则 例 3 求 解： 2.2间接运用法则——利用恒等变形化简表达式，然后再用四则运算法则求极限 2.2.1 约分法 例 4 求 分析：由于当时，，。因此，不符合四则运算法则条件，需进行恒等变形：即消去当时，分子、分母为0的因子后方可利用极限四则运算法则求之。 解： 2.2.2 通分法 例 5 求 分析：当时，，，因此，不符合四则运算法则条件，需要进行恒等变形再求之。 解： 2．2.3 根式有理化法：分子或分母有理化 例 6 求 分析：当时，分子，分母，因此不符合四则运算法则条件，需进行恒等变形再求之。 解： 2.2.4 分子分母同除以无穷大量或根据结论求之 例 7 求 解： 3 利用迫敛性求函数极限[3] 定理2 设，且在某内有，则 例 8 求 解：因为，所以当时， 而， 由迫敛性定理得， 4 利用两个重要极限公式求函数极限 4.1 例 9 求 解： 4.2 或 例 10 求 解：令，则当时， 因此 5 利用无穷小量