数学与应用数学毕业论文（设计）-拉格朗日中值定理的一些应用[精品].doc

毕业论文（设计） 题 目： 姓 名：学 号： 教 学 院： 专业班级： 指导教师：完成时间： 年 月 日 毕节学院教务处制Several application of Lagranges mean value theorem Candidate:Zhang dao fangMajor:Mathematics and applied mathematics grade 2008class 2 Student No.: 04310801015 Advisor: Liu tao Abstract：This paper mainly discusses the Lagrange mean value theorem in the basic theory, computing function limit, inequality proof, identity, existence of roots of discrimination and other aspects of the application. Through the constructor and the combination of the limit theory and inequality of knowledge has been given, and gives examples to illustrate Key words: Lagranges mean value theorem; Esmolol theorem; Cauchy mean value theorem; Continuous 目 录 引言 1 1.预备知识 1 1.1拉格朗日中值定理 1 1.2拉格朗日中值定理的几何意义 1 1.4拉格朗日中值定理的推广 1 2..拉格朗日中值定理的一些应用 2 2.1拉格朗日中值定理在基础理论中的应用 2 2.2拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用 3 2.2拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用 4 2.4 利用拉格朗日中值定理证明恒等式. 5 2.5利用拉格朗日中值定理判别根的存在性 6 2.6拉格朗日中值定理在其他方面的应用 7 3.小 结 8 4.致 谢 10 引言 拉格朗日中值定理是微分学最重要的定理之一,又称为微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要工具.利用微分中值定理可用巧妙地解决一些问题,下面将论述拉格朗日中值定理在几个方面的应用. 1.预备知识 1.1拉格朗日中值定理 若函数满足如下条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间上可导. 则在内至少存在一点,使得成立.定理的结论也可变形为. 1.2拉格朗日中值定理的几何意义 若闭区间内有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点,过点的切线平行于过点的直线. 1.3 拉格朗日中值定理和洛尔定理 洛尔定理：若函数满足如下条件： (1)在闭区间上连续, (2)在开区间上可导, (3) 则在内至少存在一点,使得.通过比较可知洛尔定理是拉格朗日中值定理的当时的特殊形式. 1.4拉格朗日中值定理的推广 1.4.1柯西中值定理 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理中时的特殊情况. 柯西中值定理：若函数与满足下列条件: (1) 在闭区间上连续, (2) 在开区间上可导,且对,有,则在内至少存在一点,使得 1.4.2泰勒定理 若函数在区间上存在直到阶的连续导数,在内存在阶导数,则对任意给定的,,至少存在一点,使得 其中 2..拉格朗日中值定理的一些应用 2.1拉格朗日中值定理在基础理论中的应用 2.1.1函数为常数的判别法：如果在区间内,则在内为一常数. 证明：在内任取两点和,设,则在上函数满足拉格朗日中值定理,从而有 ,介于与之间.因为,特别有,故,即.这个等式对内任取两点和都成立,说明在内为一常数. 2.1.2 单调性判别：设函数在内内恒有,则在内是递增的. 证明：在内任取两点和,设,则在上函数满足拉格朗日中值定理,从而有 ,介于与之间.又由已知条件推得,于是.这表明,即函数是增函数. 2.1.3 导数的极限：若函数在闭区间上连续,在内可导,且导数的极限： （*） 存在（也可为）,则在点的函数的导数存在且等于, 证明：取（使）,计算.作比,取极限,当时,由（*）式得 依定义有. 2.1.4