数学分析课件PPT之十一章反常积分[精品].ppt

四. 小结 (1) 无穷积分和瑕积分的定义; (2) 无穷积分和瑕积分收敛与发散的定义; (3) 无穷积分的计算： (i).求出函数f(x)的原函数F(x). (ii). * 11. 2 无穷积分的收敛性质与判别 一. 无穷积分的性质 二. 无穷积分收敛的判别法 * 一. 无穷积分的性质 性质１ 性质２ * 性质３ 注 性质３说明绝对收敛的级数自身一定收敛．但自身收敛的级数 不一定绝对收敛． 我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛． * 二. 无穷积分收敛的判别法 ２，比较原则 １，柯西准则 * ２，比较原则 推论 * ３，柯西判别法 推论 * ４，狄利克雷判别法 ５，阿贝尔判别法 * 解： 例1.　讨论　　　　　　收敛性， 根据比较原则 * 例2.　讨论下列无穷积分的收敛性， 解(1)： 根据柯西判别法 解(２)： 根据柯西判别法 * 例3 解 根据比较原则， . 1 1 3 4 的收敛性 判别无穷积分 ò ￥ + + x dx . 1 1 3 4 收敛 无穷积分 ò ￥ + + x dx * 例4 解 根据极限判别法，所给广义积分发散． 例5 解 根据极限判别法，所给无穷积分发散． . arctan 1 的收敛性 判别无穷积分 dx x x ò ￥ + * 证 即 收敛. * 例 解 所以所给无穷积分收敛. * * * 小结 一. 无穷积分的性质 二. 无穷积分收敛的判别法 １.柯西准则 ２.比较原则 ３.柯西判别法 ４.狄利克雷判别法 ５.阿贝尔判别法 * 11.3瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 . * 一. 瑕积分的性质 性质１ 性质２ * 性质３ 注 性质３说明绝对收敛的级数自身一定收敛．但自身收敛的级数 不一定绝对收敛． 我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛． * 二. 无穷积分收敛的判别法 １.柯西准则 * ２，比较原则 推论 * ３.柯西判别法 推论 * 例1 例2 * * * 例3 解 由洛必达法则知 根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散. * 例4 解 根据比较判别法, * 特点: 1.积分区间为无穷; * * －函数的几个重要性质： * 小结 一. 瑕积分的性质 二. 暇积分收敛的判别法 １.柯西准则 ２.比较原则 ３.柯西判别法 ４.狄利克雷判别法 ５.阿贝尔判别法 * 第十一章反常积分 11.1 反常积分概念 11.2 无穷积分的收敛性质与判别 11.3 瑕积分的性质与收敛判别 11.1 反常积分概念 一、 引例 二、两类反常积分的定义 * 一. 引入 例： 0 x y 1 b 解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，即这时的积 分区间为[1，+∞）， 显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变， 则所求曲边梯形的面积为1 * 二、两类反常积分的定义. 定义1: 设函数 f (x)在区间[a, +?)上连续, 取b a, 如果极限 存在, 则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +?)上的无穷限反常积分, 记作 (1) * 这时也称无穷积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称无穷积分 发散, 这时记号 不再表示数值了。 例如： o y x b 1 * 类似地, 设函数 f (x)在区间(??, b]上连续, 取a b, 如果极限 存在, 则称此极限为函数 f (x)在无穷区间(??, b]上无穷积分, 记作 , (2) 这时也称无穷积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称无穷积分 发散. 即 * 设函数 f (x)在区间(??, +?)上连续, 都收敛, 则称上述两无穷积分之和为函数 f (x)在区间(??, +?)上无穷积分.记作 ,即 (3) 这时, 也称无穷积分 收敛; 否则就称无穷积分 发散. 如果无穷积分 * 解： 注: 为方便起见, 把 a b o x y . 1 1 2 ò ￥ + ￥ - + x dx ：计算无穷积分 例 * 解: ). 0 , ( : 2 0 ò ￥ + - p p dt te pt 且 是常数 计算无穷积分 例 * 证: 当 p = 1时 当 p ? 1时 ). 0 ( : 3 ò ￥ + a x dx a p 证明无穷积分 例 * ò ￥ + a p x dx 所以无穷积分 * 练习