02-8曲线的曲率.曲率半径讲解材料.ppt

§2-8 曲线的曲率 一、平面曲线的曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 定义 曲线C在点M处的曲率 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 （3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K 弧微分 曲率 的计算公式 用参数方程表示的曲线的曲率公式： 例1 解 显然, 例3 曲线弧 y=sinx (0xπ) 上哪点处的曲率最大？ 并求出该点曲率。 故当 0xπ 时， x=π/2 ，k=1的曲率最大。 二、平面曲线的曲率圆 1、定义 设曲线y=f(x)在点M(x,y)处曲率为K(K≠0) 在点M处曲线凹侧的法线上取点O为圆心， 使|OM|=1/K=ρ为半径作圆曲率圆 曲率圆圆心叫做曲线在M处曲率中心， 曲率圆半径ρ叫做曲线在点M处的曲率半径。 曲率圆与曲线关系： 1）在M点有相同的切线； 2）在M点有相同的曲率； 3）在M点有相同的凹向。 4)曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧 例1 设工件内表面截线为抛物线 y=0.4x2 现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径 多大的砂轮才比较合适？ 解：砂轮半径应不大于抛物线各点曲率半径中最小值， 由抛物线在其顶点处的曲率半径最小，因此只要求出 其在顶点O（0，0）处的曲率半径， y’=0.8x, y”=0.8 K=0.8， 曲率半径ρ=1.25, 直径不超过2.5 极坐标 用极坐标表示的曲线的曲率公式(习题3) 三叶玫瑰线r = a sin3 sin3  ≥0，有 作业：p139 (3), 2