13-10.17数学物理方程的导出讲解材料.ppt

第7章 数学物理定解问题 1、数学物理方程简介： 数学物理方程是物理问题中的物理量满足的偏微分方 程或积分方程，是物理学的一个分支。 偏微分方程分为线性的和非线性的 三类偏微分方程： 波动方程 扩散方程 泊松方程 2、数学物理方法研究问题的步骤 写出定解问题 定解问题 把物理问题转化为数学语言(建模) 求解 分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法以及变分法、差分方法、保角变换法和复变函数方法等 分析解答 解出答案，需分析其意义及其适定性。 适定性：解是存在的，唯一的而且是稳定的。 3、数理方程的特点 数理方程一般连系着物理学中的许多问题，另一方面又要运用数学中的许多研究成果（方法），所以，他是数学和物理学中的桥梁 §7.1 数学物理方程的导出 一、弦振动方程 物理模型：均匀柔软细弦，受弦中张力 和重力影响。 分析：研究微小横向振动规律 x, t, u=u(x,t)为弦位移 取一小段弧MM’ 建立方程：受力情况： 沿x方向 o x u M M’ ds x X+dx N’ N T’ T Y方向受力情况 即在y方向： 因为当 时 小弧段的加速度 由牛顿第二定律得 Or Where then 此式称为弦的自由振动方程或一维波动方程。 T=T ’ 细绳 非奇次的弦振动方程 如果弦在振动过程中，还受到一个与振动方向平行的外力， 且假定在时刻t，x点处的单位长度受力为F(x,t),那么 略去弦本身的重量，我们导出 此式称为非齐次波动方程 。类似的还有理想传输线的电报方 程。 二、均匀细杆的纵振动方程 解决的问题：杆上各点沿杆长方向的纵向位移 满足的方程 AB两端位移： ， ， AB段伸长： 相对伸长： / = 相对伸长随点而变化， x 三、热传导方程 1、物理模型： 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向 有温差，求热量的流动。 首先，我们复习一下 有关热量的几个概念： 设：Q——热量，S——面积，V——体积， t——时间，ρ——密度，T——温度（u） 则： （1）比热：单位质量物质温度升高一度所需的热量 （2）热流密度：单位时间流过单位面积的热量 k——导热率 （3）热源强度：单位时间、单位体积放出的热量 2、分析： (1) 研究的问题：热量流动是由温差造成的。 设u(x,t)表示温度； (2) 已知：C,ρ,k是常数，u(x,t)是一维热传导问题； (3) 方法：推导方法与弦振动方程相似 3、建立方程 (1)考虑任一 在 时间热量情况 流入x面： 流出 面： 热源产生热量：设有热源的密度F(x,t), 升温所需的热量：设杆比热为C,体密度为ρ， (2) 根据热量守恒定律 即： (3)化简：上式两边乘以 得 令 即 其中 此式即为一维热传导方程，中子扩散，高频电流分布 均属于此类方程。 当无热源时方程为 三、三维热传导方程 传热问题→求物体内温度的分布。 取一个闭曲面S t时刻M点的温度为 由Fourier实验定律 式中的负号表示热量的流向与温度梯度的正向相 反。 热场 s V M n Δs 从时刻t1到t2通过曲面s流入区域v的热量为 从时刻t1到t2区域V内温度从 到 需要的热量是 利用热量守恒定律 ，得到 利用奥——高公式将左面的曲面积分化成体积分 同时，右边的体积分写成 tnen ,one has and Yields 若物体内有源，强度为F（x,y,z,t）,则 Where 一维热传导方程 二维热传导方程 对于恒定温度场（物体的温度处于平衡状态，) 此时场内温度满足 四、扩散方程