1§1 矩阵的初等变换讲解材料.ppt

§1 矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、初等矩阵 一、消元法解线性方程组 引例 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 解 用“回代”的方法求出解： 引例2 求解线性方程组 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形, 只用到如下三种变换: 1) 交换方程次序； 2) 以不等于0的数乘某个方程； 3) 一个方程加上另一个方程的k倍． 3．上述三种变换都是可逆的． 三种变换都是可逆的, 变换前的方程组与变换后的方程组是同解的. 故这三种变换是同解变换． 在上述变换过程中, 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算, 未知量并未参与运算． 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B (方程组 (1) 的增广矩阵)的变换． 用矩阵的初等行变换解方程组(2)： 解 得同解方程组: 令 x3=c, 则方程组的解为: 2、矩阵的初等行变换与初等列变换统称初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． (1) ri ? rj 的逆变换是 ri ? rj (2) ri ? k 的逆变换是 (或记作 ri ? k ). (3) ri+krj 的逆变换是 ri+(?k)rj (或记作 ri ? krj ). 3、1) 若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B行等价, 记作 2) 若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B列等价, 记作 3) 若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B等价, 记作 A ～ B. 等价关系具有性质： (i) 反身性 A ～ A . (ii) 对称性 若 A ～B, 则 B ～ A. (iii) 传递性 若 A ～B, B ～ C,则A ～C.